阻抗式调压室甩负荷涌浪计算显式公式 张　健　索丽生
河海大学水利水电学院　南京　210098

一、引　　言

　　现有文献中，水电站全弃负荷时，阻抗式调压室涌浪的第一振幅(最高涌浪)及第二振幅常分别用如下理论公式计算^［1，2］：

式中：分别为水电站全弃负荷后第一、第二振幅；l、f、v₀为引水道长度、截面积及水体流速，h_w0、k₀为流量Q₀流经引水道及进出调压室所引起的水头损失；F为调压室断面面积；g为重力加速度；x_m1、x₂、x₀均为无因次的比值，s具有长度因次，用以表示“引水道－调压室”系统特性，η代表阻抗大小，η=0即为简单圆筒式调压室。

　　式(1)、式(2)为隐式超越方程，使用不太方便，且对于阻抗孔口较小(阻抗值较大)的调压室，公式右端对数函数的真数可能为负，导致难以计算。本文拟利用小参数幂的渐近展开方法，求解调压室动力方程，导出甩负荷后调压室涌浪的第一、第二幅值的显示计算式。

二、 调压室基本方程

　　1.连续方程

式中z为调压室水位，以水库水位为基准，向下为正；Q_T为电站引用流量；v为通过瞬时流量Q时引水道的流速。

　　2.动力方程

其中h_w=αv²为通过瞬时流量Q时引水道的水头损失；α为引水道水头损失系数，β为调压室阻抗的水头损失系数。即使水轮机引用流量Q_T已知，(3)与(4)式仍为一非线性方程组，无法根据给定的初始条件求出调压室内涌浪变化的全过程。

三、甩负荷调压室涌浪水位计算

　　当水电站丢弃全负荷后，Q_T=0，式(3)化为：

　　将之与(4)式联立，消去v后，得以下二阶动力系统方程：

其中：，为忽略引水道与调压室阻抗损失的水位波动周期，式(6)反映的是在平方阻尼的情况下调压室水位波动，如令：，其中F_th为调压室托马断面，n为安全系数，其取值范围一般为1.05至1.1，托马断面表达式为：，其中H₀为电站毛水头，将其代入系数s的表达式中则可得到：s=(H₀-αv²₀)／n，显然s的大小与该电站的水头及调压室面积有关。将其代入式(6)，不难发现γ是一个小量，故式(6)可写为下列形式：

其中ε为小参数，由于平方阻尼的存在，调压室水位的实际波动为非线性振荡，但其周期与无摩阻情况无太大变化，故可按以下方式构造(6)的近似解^［3］。

其中a为调压室涌浪幅值；ψ为相位角；它们均为时间的函数。u₁(a，ψ)是角ψ的周期函数，周期为2π，这样由式(8)知，为了使a作为第一基本谐波的全振幅，u₁(a,ψ)的傅利叶展开式应该不含cosψ项，即：

不难证明式(8)—(10)与式(6)真实解的误差为ε的二阶小量。

　　将式(8)—(10)代入式(6)，通过方程两端的泰勒展开式比较小参数ε的同幂次项，然后将平方阻尼项与u₁(a,ψ)按傅利叶级数展开且令各个相同谐波的系数相同，再利用式(11)作为约束条件便可求解式(8)—(10)，得到：

其中C为一常数，其值为：

由式(13)、(14)得：

其中a₀、ψ₀为调压室涌浪开始时的初始振幅与初始相位角，其值为：

　　从式(5)可以看到，调压室涌浪的幅值近似地与时间成反比而衰减，将式(15)、(16)代入式(12)得到调压室水位波动函数，对该函数求导数，并令其为零，就可得到所需的调压室涌浪第一、二幅值。但由于式(12)为一级数表达式，以上的求解过程将是极其繁琐的，甚至无法做到，实际上式(12)及式(16)的右端第二项是一较小的量，故调压室涌浪z的极值点可近似的认为在ψ=π与2π处，将该二值代入式(16)式中便可求得相应时间t，再代入式(15)即得到了调压室涌浪的第一与第二幅值，以上过程较为简单，并不会对精度产生大的影响。这样调压室涌浪第一与第二幅值表达式可写为：

该式为显式表达式，且求解最低涌浪zmax2时，不必先求zmax1。

四、算例分析

　　某电站水头70m，引用流量35.61m³／s，引水隧洞长1970.1m，直径3.6m，糙率为0.013，水头损失系数α=0.383，调压室为阻抗式，截面积拟取0.8至1.1倍的Thoma断面，采用不同调压室涌计算式所得结果见表1、表2，其中求解式(1)、(2)时，采用有理分式法，精度为1.0E10^-6，当调压室阻抗过大时，式(1)、(2)时无法求解，改用了变步长四阶龙格－库塔法求调压室微分方程的数值解，精度亦为1.0E10^-6。

表1　阻抗式调压室(η=2.0)截面积不同时涌浪计算对比表

-20.33

13.57

-20.03

13.36

1.50

1.57

表2　阻抗式调压室(F=1.0F_th)阻抗不同时涌浪计算对比表

-22.03

17.08

-21.74

17.77

1.34

1.18

…

…

…

…

…

…

　　由表(1)、(2)知，式(19)的计算误差一般随调压室截面积及阻抗值的增大而逐渐增大，但精度均可满足工程要求，计算结果偏于安全；当调压室阻抗值η较大时，式(1)、(2)无解，但式(19)仍然有效；在本文算例中，当η达6.0时，误差仍不到3%，此时阻抗孔口已相当小(其面积与隧洞面积之比为0.21)，为防止过大的水击穿越调压室，考虑更大的η值已无意义。

五、结　　论

　　本文导出了计算全甩负荷后阻抗式调压室涌浪第一、二振幅的显式表达公式(19)，该公式适用范围广，使用方便，形式简洁，精度亦可满足工程需要。

参考文献

［1］　河海大学王世泽主编　水电站建筑物　水利电力出版社，1997，北京。
［2］　王树人主编　调压室水力计算理论与方法　清华大学出版社，1993，北京。
［3］　H。H。包戈留包夫，　IO.A.米特罗波尔斯基(苏联)，　金福临等译，非线性振动理论中的渐近方法　上海科学技术出版社，1963。