转子-轴承系统固有频率对设计参数的灵敏度
宋 曦1 赵荣珍2
1.甘肃工业大学 基础科学系，甘肃 兰州 730050； 2.甘肃工业大学 机电工程系, 甘肃 兰州 730050
电机的振动和噪声是考核电机质量的综合指标之一，它与电机的核心部件即转子-轴承系统的设计参数、制造工艺和零部件的加工质量有密切关系．由于电机生产制造过程中各种不确定因素的影响，成品电机的振动和噪声往往与预料值相差较远．碰到此类问题时，技术人员往往凭借经验，用试凑的方法去处理，带有很大的盲目性，并未从根本上找出解决问题的有效途径．因此，寻求有效的系统固有频率对设计参数灵敏度的计算方法是十分迫切的．对于这一问题许多人进行了探讨［1～5］,Lund也提出了临界转速对设计参数的灵敏度概念［6］．但上述文献均把轴承油膜简化成各向同性的支承弹簧，所得系统的阻尼矩阵、刚度矩阵均为对称的，这些方法都有一定的局限性．文献［7］提出将一个二次特征值问题转化为一个线性特征值问题求解转子-轴承系统灵敏度，但该方法工作量大．
本文在以上文献的基础上，针对转子-轴承系统的特点，推导了转子-轴承系统的固有频率对设计参数的灵敏度公式．利用该公式可对系统的动特性作出预估，从而为工程设计及参数改变提供了理论依据．
1 系统的动特性分析
转子-轴承系统的转速高，偏置的集中质量圆盘会产生陀螺效应，且轴承油膜呈各向异性,因此，系统的阻尼矩阵C，刚度矩阵K均是非对称的．其系统的运动方程为
 （1）
系统的特征方程：
（λ2M＋λC＋K）｛φ｝r＝｛0｝ （2）
｛ （3）
由于阻尼矩阵C和刚度矩阵K一般不对称，系统的特征值问题是一个复模态二次广义特征问题，且通常左、右特征向量不相等，因此，本文采用广义逆迭代法［8］求解，该方法将非对称的二次特征值问题简化为标准特征值问题，不需要把N阶的二次特征值问题变换为2N阶的线性特征值问题．这种方法不仅数值稳定，而且节省机时．
2 固有频率对设计参数的灵敏度
模态灵敏度的求解方法主要有两种：振动法和导数法．本文采用导数法，即用固有频率对设计参数的一阶导数作为灵敏度．
对于某一特征值λi，记
 （4）
将式(4)对某设计参数Sm求导：
 （5）
将式(2)对Sm求导：
用 左乘上式，并将式(5)代入整理得：
 （6）
取 即可求出固有频率对设计参数的灵敏度．其中 根据具体的设计参数而定．
特征值按Taylor级数展开：
若系统修改量较小，一般仅求出其线性部分．否则，应求其高阶项．这样可求出某一设计参数Sm变化后的固有频率，不必再求变化后的动力系统，便可知道系统固有频率的变化趋势．
图1 转子-轴承系统力学模型
3 数值算例
采用本文提出的方法，对某一实际转子-轴承系统进行分析，其模型如图1所示．圆盘参数及转子各轴段参数见表1．支承采用圆柱轴承，轴瓦直径为100．5 mm，轴瓦长度60 mm，预负荷系数为0．802 5，转速12 490 r/min．
表1 轴段参数
自然轴段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
直径D/mm
75
96
100
100
124
142
124
100
100
96
75
长度L/mm
90
120
38
58
30
145
30
58
38
126
95
集中质量m/kg
48.80
45.20
直径转动惯量Jd/（kg·m2）
0.183
0.176
极转动惯量Jp/（kg·m2）
0.331
0.320
该系统的前4阶固有频率(特征值虚部)分别为509．19 Hz，833．50 Hz，1 329．1 Hz，1 778．8 Hz．
表2 轴承物理参数的灵敏度
阶数
间隙比ψ
长径比L/D
预负荷mb
1
－11 3918.67
368.46
2 024.95
2
－165 510.57
347.75
2 463.85
3
－361 292.68
1 336.20
7 454.29
4
－40 326.82
235.65
993.77
求得固有频率和特征向量后，便可利用公式(6)，求出固有频率对设计参数的灵敏度．结构的修改参数可以是转子的几何尺寸、轴承参数等．在转子-轴承系统中，轴承是一个关键部件，其油膜动特性系数直接影响到系统的动力学行为．算例给出了系统前4阶固有频率对轴承物理参数间隙比ψ，长径比L/D，预负荷系数mb的灵敏度和转子各直径Di的灵敏度，分别见表2和表3．
表3 前6个自然轴段的直径灵敏度
阶数
第1段
第2段
第3段
第4段
第5段
第6段
1
－472.73
－199.13
75.06
124.29
1.01
－4.17
2
－509.57
－299.05
164.32
341.29
－76.26
－367.04
3
－1 662.29
－77.13
969.08
1 381.61
89.11
10.55
4
－22 182.25
9 313.53
6 901.06
12 569.66
2 229.73
2 746.01
由以上计算可见：
1）轴承的物理参数对系统动特性的影响比转子几何尺寸的影响大．
2）轴承的3个物理参数中，间隙比对各阶固有频率的影响最大,随着间隙比的增加，各阶固有频率降低；随着预负荷系数增加，各阶固有频率增大；长径比的改变对固有频率的影响较前两个参数小，随着长径比的增加，固有频率也随之增大．
3）各轴径对固有频率的影响不尽相同，对高阶固有频率的影响较大．
此结果与工程实际中常选用高精度的轴承或用提高轴承的装配工艺来减小电机振动和噪声的实际相符．这证明了该方法的正确性和可靠性．
4 结论
1) 本文推导的灵敏度公式，较文献［7］提出的灵敏度公式形式简单，便于在计算机上实施，且计算量小．
2）采用本文的灵敏度分析方法，对转子-轴承系统的动特性作出预估，相对于采用结构的动特性有限元重分析或实验分析来说，该方法周期短，见效快，且结果具有相当的预测精度．
3) 本文提出的方法可以有效地应用于转子-轴承系统中设计参数的灵敏度分析，并可直接应用于转子-轴承系统动力学修改再设计．
参考文献
［1］ Fox R L, Kapoor M P. Rates of change of eigenvalues and eigenvectors［J］. AIAA Journal, 1968,6(12):2 426-2 429．
［2］ Rudisill C S. Derivatives of eigenvalues and eigenvectors of general matrix ［J］ AIAA Journal, 1974, 12(12):721-722．
［3］ Zimoch Z. Sensitivity analysis of vibrating systems ［J］. Journal of Sound and Vibration, 1987, 115(3):447-458．
［4］ Dought S. Eigenvalue derivation of damped torsional vibrations ［J］. ASME Journal of Mechanical Design, 1982，(104):463-465．
［5］ Adelman Howard M, Raphal Haftka. Sensitivity analysis of discrete structural systems［J］. AIAA Journal, 1986,24(5):823-832．
［6］ Lund J W. Sensitivity of the critical speeds of a rotor to changes in design ［J］ ASME Journal of Mechanical Design, 1980，(102):115-121．
［7］ Rajan M, Nelson H D, Chen W J. Parameter sensitivity in the dynamics of rotor-bearing systems ［J］. ASME Journal of Vibration: A Caustics Stress and Reliability in Design, 1986， [1] [2] 下一页
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