0　引言

1　典型单元运动微分方程

1.1　刚性圆盘
　　转子系统模型如图1，当圆盘质心与弹性轴线相重合时，其动能为：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
由Lagrange方程有：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
其中｛q｝＝｛x，y，θ_x，θ_y｝^T，当圆盘质心具有偏心(ξ_c，η_c)时，不平衡激励力：
　　｛Q_d｝＝m_dω²｛ξ_c，η_c，0，0｝^Tcosωt+m_dω²｛-η_c，ξ_c，0，0｝^Tsinωt　　　　(3)
m_d和ω分别为圆盘的质量及转动角速度。

图1　转子系统模型

1.2　无裂纹轴段
　　对于任一弹性轴段单元，其上某一截面的状态向量可表示为一位移插值函数与此单元两端状态向量的线性组合。对于任一长度为l，半径为r的圆截面轴单元，在其s处截取一厚度为ds的微元，其动能和弹性弯曲势能分别为：
　　　　　　　　　　　　　　(4)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
式中，μ，I_T，I_P分别为轴段单元长度的质量、直径转动惯量和极转动惯量，EI为抗弯刚度。将上述微元动、势能沿轴段单元全长积分，可得该轴段单元动能和势能，由Lagrange方程建立无裂纹轴段单元的运动微分方程有：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
｛Q_e｝为轴段单元的不平衡激励力向量，具体为：
｛Q_e｝＝∫^l₀μω²(｛ξ(s)，η(s)，0，0｝^Tcosωt+｛-η(s)，ξ(s)，0，0｝^Tsinωt)ds(8)
1.3　裂纹轴段
　　在轴上裂纹区域取一“特别”单元，其质量阵和阻尼阵与无裂纹单元的相应矩阵相同，而刚度阵不同。对于此含裂纹轴段单元，由断裂力学理论可知，其总应变能W被认为是由无裂纹时单元体的应变能W₀与因裂纹出现而产生的附加应变能W₁之和，若不考虑剪切应变能：
　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11)
式中P和M分别表示轴段单元所受的力和弯矩，a为裂纹深度，υ为材料泊松比，K_IP，K_IIP，K_IM为应力强度因子，b和h为含裂纹体单元的厚度和高度，s为裂纹深度比(a/h)。
　　含裂纹单元体总柔度系数为：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)
总柔度矩阵为［C］＝［c_ij］，由虚功原理可导出含裂纹轴段单元的刚度矩阵为：
　　　　　　　　　　　　　　　［K_ec］＝［T］［C］^-1［T］^T(13)
转换矩阵为：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)
裂纹单元运动微分方程：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15)

2　系统运动方程及振动响应

3　计算分析

　　取圆盘质量m＝10.8 kg，厚度h＝20 mm，直径d＝300 mm，转子长度L＝720 mm，直径D＝72 mm，弹性模量E＝2×10¹¹N/m²，泊松比υ＝0.3，不平衡偏心距ε_ξ＝0.4 mm，ε_η＝0.2 mm。裂纹转子计算模型如图2。

图2　裂纹转子模型

4　试验分析

　　以上分析及计算模型为“回转对称系统”，实际上裂纹还引起转子刚度周向不对称，再加上汽轮发电机组转子的自重及安装标高的影响，运转时裂纹可能存在“开闭”现象，导致轴系动力特性表现为“回转非对称系统”。故采用模拟裂纹转子进行了刚度非对称性对振动响应影响的试验研究。结论如下：(1)转子存在裂纹时，导致转子刚度的非对称性，使得转子振动响应中含有2X分量。(2)裂纹轴向位置固定时，稳态响应中的1X和2X分量的幅值随裂纹深度增大而增大，其相位随裂纹深度增大也发生变化。(3)裂纹深度一定时，振动响应的1X和2X分量与裂纹所处的轴向位置对振型灵敏度有关。(4)当裂纹深度与转轴直径相比较大时，波特图在临界转速附近会出现共振峰的开裂。在升降速过程中，临界转速下1X及副临界转速(1/2临界转速)下2X响应的(幅值和相位)变化较大。

表1　　升降速振动记录［幅值/相位，μm/(°)］

　　启停机时监测临界转速下瞬态响应的1X及副监界转速下瞬态响应的2X的幅值和相位；稳定工况下监测1X和2X分量的幅值及相位的变化趋势。当相同工况下1X和2X幅值和相位发生较大变化时，在排除不平衡、不对中、负荷、励磁电流及膨胀等因素对机组振动的影响后，则应怀疑转子裂纹的存在。

6　现场实例

　　某电厂由亚西亚AB设计和制造的容量为700 MW的汽轮发电机，1981年1月末其转子振动发生了变化。电厂通知振动专家进行监测，决定当振动变化量增加到一定值时便停运转子，并用超声波对转子进行检查。在1月31日的降速过程中，发电机转子发生了严重的振动(特别在通过发电机第一临界转速时)。后用超声波探伤发现裂纹长达1/2转子直径(裂纹深度为400 mm，位于发电机后轴端处)。1981年1月24～31日(停运前7 d)振动变化曲线示于图3，1980年10月13日～1981年1月31日期间几次升、降速过程临界转速下1X和副临界转速下2X振动分别示于表1。
　　从表1可以看出，当裂纹达1/2转子直径时，过发电机转子一阶临界转速时振动的1X分量急剧增大，过发电机转子副临界转速时振动的2X分量也急剧增大(因为裂纹使转子刚度具有严重的非对称性)。从图3中可以看出，在3 000 r/min下1X和2X分量均有不同程度的增加，相位也发生了较大变化。

图3　发电机前瓦处转轴垂直振动趋势图

7　结论