1　引言
　　小波分析(wavelet analysis)是近年来发展起来的一个新的数学分支，是Fourier分析新的进展。在信号处理、图象处理、模式识别、故障诊断、状态监测等众多学科领域中得到(或将得到)广泛的应用，被认为是近年来数学工具及方法上的重大突破，已成为学术界和工程界关注的焦点。
　　与Fourier分析类似,小波分析也是一种时域-频域分析，但它的优点是在时域和频域同时具有良好的局部化性质，可根据信号不同的频率成分，在时域和频域自动调节采样步长。在这一意义下，小波分析被誉为“数学显微镜”。传统的Fourier变换对信号进行时频分析时，没有时域和频域同时局部化的作用，人们若要得到某个固定频率ω处的频谱信息
(ω)，必须利用全部时域信息f(t),t∈R；若已知局部的频谱信息，由此并不能获得信号在局部时域中的特性;同样，信号在局部时域上的改变会影响它的全部频谱特性，在频域中的局部改变也会影响它在全部时域中的特性。小波分析克服了传统Fourier分析在这方面的缺点，在信号分解与重构、信号与噪音的分离、特征提取、数据压缩等工程应用上，显示了它的优越性。
　　目前，小波分析在电力系统中的应用尚处于起步阶段，有着广泛而光明的应用前景^［1］。本文结合变电站绝缘在线监测系统的实际状况，将小波分析引入用作信号的抗干扰处理，特别是对一般的模拟滤波器与数字滤波器无能为力的减弱白噪音作了一些尝试，并进行了一些计算机仿真的工作。

2　小波除噪的原理和方法
2.1　信号的奇异性与正则性
　　在数学上常用奇异性反映信号的不规则程度，用正则性反映信号的规则及光滑程度。局部奇异性常用Lipschitz指数来描述。
　　定义1　令n为一正整数，且n≤a≤n＋1，f(x)在点x₀处成为Lipschitz a的充要条件是存在常数A及h₀>0，且有一n阶多项式P_n,使得当h0时，有
　　 ｜f(x₀＋h)－P₀(h)｜≤A｜h｜^a(1)
　　定义2 称所有使f(x)在x₀处为Lipschitz a的全部a值的上界a₀为f(x)在点x₀的Lipschitz正则。
　　由定义1可知，若一个函数在一点x₀处连续可导，则它在x₀处是Lipschitz 1的。若f(x)在点x₀处可导，导数有界，但不连续，则f(x)在x₀处仍然是Lipschitz 1的，即f(x)在x₀处不是奇异的。如果f(x)是Lipschitz a，a>n，那么可以证明f(x)在x₀处是n阶可导的，且多项式P_n为x₀处展开的泰勒级数的前n＋1项。Lipschitz 正则a₀给出了函数f(x)可导性的更精确的指标，如果a₀满足n00处n次可导，但它的n阶导数在x₀处是奇异的，且a₀刻划了这个奇异性。函数f(x)的Lipschitz 正则a₀越大，则f(x)越光滑。若在x₀处不连续，但有界，则f(x)的Lipschitz 正则a₀＝0。若在x₀处连续，但不可导，则其Lipschitz指数为0 　　判断信号f(x)的奇异性，主要是通过测量它的Lipschitz 正则进行的。
　　定理1　假设小波Ψ(t)连续可导、实值、具有紧支集,设f(x)∈L²(R)，［a，b］∈R，0<α<1，则对任意ε>0，f(x)在区间(a＋ε，b－ε)上是一致Lipschiz α的。当且仅当对于任意的ε>0，存在一个常数A，使得对于x∈(a＋ε,b－ε)及s>0，则式(2)成立
　　　　　　　　｜Wf(s,x)｜≤AS^α(2)
　　该定理将在小尺度上f(x)的小波变换的渐进衰减与局部Lipschitz正则联系起来。有关证明与推导见文［3］。可大致得出小波变换模｜Wf(s,x)｜在不同α的情况下随尺度s变化有如下规律：α>0，s增加，｜Wf(s, x)｜增加，α越大，｜Wf(s, x)｜增加越快；α＝0，s增加，｜Wf(s, x)｜不变；α<0，s增加，｜Wf(s, x)｜减小。一般来讲，根据小波变换模｜Wf(s,x)｜的变化情况就可大致判断信号在某个区间或某点的奇异性及相应的Lipschitz指数的取值范围。
2.2　噪声的小波变换特性
　　由于现场的电磁干扰较强，且信号通道受一些模拟元件的热噪声等影响，也易产生各种干扰，造成被监测信号往往伴随着大量的噪声，例如白噪声等。有时对在线监测的影响是很大的，如可影响本身就很小的容性设备介损角的准确测量，对准确分离MOA阻性电流的影响也是不可忽略的，它造成的信号过零点采集困难会影响信号周期的准确获得，并影响通过快速富立叶变换(FFT)(造成较大的频谱泄漏，如文［2］所述)所获得监测参量的可信度。对于这种含有宽带噪声的信号，传统的模拟滤波与数字滤波的处理方法有明显的局限性，小波变换具有可进行时频同时局部分析的特点，可更有效地处理突变信号，具有传统方法不可比拟的、非常灵活的对奇异特征提取与时变滤波等功能，可在低信噪比的情况下进行有效滤噪并检测出有用信号。
　　噪声的小波变换特征是小波除噪的基本出发点。其特点如下：
　　定理2　设n(x)是实的、宽平稳白噪声，其方差为σ²，那么白噪声的小波变换W_S(s,x)的期望值为
　　　　　　　　　　(3)
　　该定理说明，E(｜W_S(s,x)｜²)的衰减正比于1/s，即白噪声的小波变换幅值随尺度的增加而减小。
　　定理3　若白噪声n(x)是高斯白噪声，在尺度s上，其小波变换模的平均密度为
　　　　　　　　(4)
式中　Ψ⁽¹⁾和Ψ⁽²⁾分别为Ψ(x)的一阶及二阶导数。
　　该定理说明白噪声的小波变换模值的平均密度正比于1/s，其密度随尺度s的增大而减小。另外还可以证明高斯白噪声是一致Lipschitz－－ε的分布，ε>0。由此可见，离散白噪声是几乎处处奇异的。由定理2、定理3及第2.1节所述可知，白噪声的小波谱将随着尺度的增加而逐渐消失。
2.3　小波除噪方法及仿真研究
　　小波除噪的基本思想是首先将混有噪声的信号进行小波分解，根据噪声与信号在各尺度(频带)上的小波谱具有的不同表现这一特点，将各尺度上由噪声产生的小波谱分量，特别是将那些噪声波谱占主导地位的尺度上的噪声小波谱分量去掉，这样保留下来的小波谱基本上就是原信号的小波谱，再利用小波变换的重构算法重新构造原信号，即可得去噪后的信号，如何去除噪声的小波谱则可根据上面第2.2节点所阐述原则进行。
　　根据本系统所监测信号的特点(大部分为低频信号)，考虑到小波变换的可叠加性，将高斯白噪声与感兴趣的低频信号分别在6个尺度上进行二进小波变换，如图1所示。通过对二者的分析，可得出小波除噪的实用判据。图中，第1个图形为原始信号波形，其他6个为尺度1～尺度6上的小波变换。
　　由图可得到以下几点：
　　(1)小波分解结果证明第2.2节所述的内容，白噪声信号的小波谱将随尺度的增加而迅速减小，仅在小尺度上有明显的表现，图中所示当到尺度4时，可看出它对信号重构的影响已经很小了。
　　(2)由低频信号的小波分解图示可知，在小尺度上可用低频信号的小波谱几乎为0，随着尺度的增加，它的表现才逐渐明显。从图1可知，应该重视尺度4及以上的小波变换结果对信号重构的影响。

图1　高斯白噪声与低频信号的小波变换

　　通过上述分析，可得到简单的针对保留低频信号的除噪原则：保留原始信号尺度4及以上的分解数据，将尺度1～3上的数据置为0。这样既可尽量消除白噪声对信号的干扰，又可最大程度地保留可用的低频信号成分。
　　本文根据上述原理用C++语言编制了程序，其算法如下：
　　先假设混杂的噪声为高斯白噪声，n(x)＝NID(0,σ²)，其中σ表示标准方差。所选用的可用信号为正弦波f(i)＝M^*sin(2πfi/f_s),i∈(0,1,…,511)；式中f表示信号频率，f_s表示采样频率，M表示幅值大小。二者作线性叠加，可得到原始离散信号。
　　①为简洁与说明问题，本文选用了对应于二次B样条小波的滤波器脉冲响应，其中h［n］＝
｛0.125，0.375，0.375，0.125｝，g［n］＝｛－2.0，2.0｝，同时确定分解尺度为6。
　　②对混有白噪声的离散信号进行二进小波变换(具体方法的推导及实施过程见文［4］)，分别得到6个尺度上的信号小波变换值与信号逼近值。
　　③为达到除噪效果，根据前面所述原则，置低尺度的小波变换的数值为0。
　　④根据重构算法得到消噪结果。
　　为体现除噪效果，特将仿真结果列于表1，以体现出不同尺度值置0时除噪效果的差别。
　　从表1可得出以下结论：
　　(1)噪声小波谱较大的小尺度上的数据置0后，信号的信噪比均有明显提高，随着被置0的小尺度个数的增加，信噪比提高的倍数也增加，但当被置0的小尺度个数超过4个时，倍数增加便减缓，有时甚至可能下降。究其原因，是因为更高尺度上噪声的小波谱已不再明显，相反，其上有用低频信号的小波谱开始占优势，此时将其置0，不但不能起到除噪的作用，还可能使重构信号有较大的失真，结果体现出信噪比提高倍数的降低。
　　(2)从表1可看出，当可用信号幅值均为50，仅改变高斯白噪声的σ值时，对于大的白噪声，在一定范围内的小波除噪效果更为明显(体现为信噪比提高倍数的增加)。可见此算法对噪声具有很强的抑制能力。

表1　小波除噪结果

　注:由于每次噪声产生的随机性,使得即使是σ和M相同的原始信号,其初始SNR都不会完全一致。

　　此外，在图2所示的原始信号与除噪后信号的对比图中可清晰地看出小波除噪的效果。

图2　小波除噪前后的信号波形图

3　小波变换在变电站绝缘在线监测中的应用前景
　　由于条件限制，本文仅就小波除噪作了计算机仿真。除了它可在本系统中应用外，在变电站绝缘在线监测等其他方面还大有用武之地。
　　(1)鉴别MOA的劣化信号。MOA在正常状况下，仅有微弱的泄漏电流流过MOA本体，其电流波形近似为正弦波，但当MOA受潮或老化到一定程度时，其电流波形如图3所示，由于这时阻性电流高次谐波的迅速增长，导致电流波形上出现突起，如果监测时信号噪声污染严重，而这一突起本身并不大(但表明MOA已开始劣化，则应引起注意)，混杂于噪声中时，利用常规的方法对其准确监测将有一定困难。由于这种劣化信号的奇异点(突起)所具有的Lipschitz指数是非负的

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