1　引言
　　根据面向电压稳定性分析的局部分岔理论及其数值计算方法，对电力系统进行分岔解算分析的基本步骤如下：
　　①选定系统状态变量和参量，确定系统微分代数方程组，包括发电机方程、负荷的选定变化方式、网络的潮流方程3部分。
　　②方程组的整理归一，将代数方程合并到微分方程中，使方程组成为纯微分方程组。
　　③运用常规潮流计算求出初始状态点。
　　④运用延拓法对所关注的节点进行解支延拓，计算出可能发生鞍结点分岔及Hopf分岔的临界参数值和状态值(精确地说，即是沿解支曲线对用纯微分方程组表示的系统的状态矩阵(Jacobian矩阵)进行动态跟踪计算,特征值轨迹穿越原点则发生鞍结点分岔,穿越虚轴则发生Hopf分岔)。
　　按照以上步骤,本文以一熟悉的系统模型为例^［1～4］，运用MATLAB语言编程实现延拓法计算软件，并对计算结果进行比较分析。

2　计算分析实例
　　负荷模型采用如图1所示的恒功率与感应电动机并联模型。两个发电机节点中，一为松弛节点，另一个保持恒定电压值。由发电机摇摆方程与负荷方程合并整理得到系统方程组如下：

图1　电力系统模型示意图
Fig.1　Sketch map of power system model

　　　(1)

其中的潮流方程如下：
　P(δ，V)＝－E^′₀Y^′₀V sin(δ＋θ^′₀)－E_mY_mV sin(δ－
δ_m＋θ_m)＋(Y^′₀ sinθ^′₀＋Y_m sinθ₀)V²
　Q(δ，V)＝E^′₀Y^′₀V cos(δ＋θ^′₀)＋E_mY_mV cos(δ－
δ_m＋θ_m)－(Y^′₀ cosθ^′₀＋Y_m cosθ₀)V²
参数取自文献［1］，除角度单位为度外，其余参数均为标幺值。
　　状态变量　　　x＝［δ_m，ω，δ，V］^T
　　以无功负荷Q₁需求为参量，对系统方程组先求取一个正则稳态解，再用延拓法求出穿过鞍结点分岔点的解支曲线，求出分岔点为x_*＝［19.879，0，
7.891，0.928］^T，对应的Q^*₁值为11.4114。
　　取x中的分量V，给出相对于参数Q₁变化的曲线(见图2)。

图2　系统动态Q-V曲线图
Fig.2　Dynamic Q-V curve of the system

　　对x_*处的系统Jacobian阵求取特征根，得
　　eig＝｛－89.114　689　4 －0.455　454　8±j2.732　157 －0.003　40｝　　(2)
　　可见鞍结点分岔对应于系统特征根轨迹穿越复平面上的零点。这种分岔是实分岔。
　　当任一无功负荷Q₁*₁(Q^*₁＝11.4114)时,系统有两个平衡点，一是不稳定的，该点的Jacobian阵有一个正实特征根和3个位于左半平面的特征根。另一点是稳定平衡点。对稳定平衡点沿上半解支求Jacobian阵的特征根,为两个负实特征根与一对共轭复特征根。对这一对复特征根在复平面上描绘的轨迹曲线如图3所示。

图3　稳定平衡点共轭复特征根轨迹图
Fig.3　Orbit of the complex eigenvalues of stable equilibrium points

　　由曲线表明，随着Q₁值向Q^*₁变化，这对共轭特征根先向右穿越虚轴，然后又向左穿越虚轴回到左半平面。可分别求出这两个临界Q₁值为10.94589855与11.40674647 。这表明系统先发生了一次超临界Hopf分岔，出现1个极限环，而后又出现1次亚临界Hopf分岔，极限环消失。
　　文献［1］仅求出鞍结点分岔点为
x_*＝［19.938　931　27, 0, 7.906　817　573, 0.925］
　　文献［2］和［3］求出了鞍结点分岔点和两个Hopf分岔点，但并未详述方法。文献［4］采用分岔分析软件AUTO和非线性系统仿真计算软件DSTOOL求出了鞍结点分岔点和两个Hopf分岔点以及倍周期轨道。
　　以上文献在鞍结点分岔和Hopf分岔点的计算结果上均与本文大致相同，但都回避了采用怎样的计算方法这一问题。而本文的编程实践表明，采用延拓法的MATLAB程序能够迅速准确地延拓求解出简单系统方程组的解支曲线及其鞍结点和Hopf分岔点，精度满足工程要求。文献［4］由于工具软件的密封性，对于方法和计算条件均缺乏灵活变通的余地。这些文献与本文对此算例的计算结果和计算方法在表1中详细列出，谨供比较。

表1　计算结果比较
Tab.1　Comparison of the results

　　需要指出的是，共轭虚根穿越虚轴发生Hopf分岔时，系统稳定性的改变取决于系统特征根的位置，分岔的稳定类型也取决于此；至于Hopf分岔中产生或消失的极限环的稳定性类别，则取决于相关的判定定理，与分岔的稳定类别并无直接关系。
　　如果仅考虑实分岔，则系统特征值直到鞍结点分岔才穿越原点到达右半平面。可是在分岔的意义上，早在此之前系统的共轭复特征根就穿越了虚轴，发生了Hopf分岔，使系统失稳。从而要防止系统电压失稳，其必要条件是防止出现Hopf分岔。特征分析法是有助于做到这一点的。但是从分岔理论的分析来看，即使对于以上4阶系统，其可能发生的分岔类型还包括循环折叠分岔、倍周期分岔等等，从而使系统可能提前失稳。
　　 即使仅想全面研究系统的局部分岔行为，也必须画出完全的解支曲线，包括求出全部奇点、求出奇点处的全部分岔方向、沿不同分岔方向延拓出全部的解支簇、求出所有周期解及其周期轨道。

3　结论
　　本文运用面向电压稳定性分析的局部分岔理论及其数值计算方法，采用带自适应步长的求解微分方程系统解支的延拓法，计算了一个简单电力系统的鞍结点分岔和Hopf分岔，并与其它文献的结果进行了比较和理论分析。
　　(1)采用的求解解支曲线的算法对鞍结点分岔与Hopf分岔的计算，与采用非线性计算软件
AUTO的计算结果相一致，是工程计算中能满足电力系统求解需要的计算方法。
　　(2)本算法作为单参动力系统分岔的数值计算方法，可根据实际需要，改变参量选取以满足电压稳定性分析的不同求解策略的需要。
　　(3)本算法的思路和编制软件从技术上说明了对电压稳定性分岔研究程序开发的可行性。笔者采用Matlab 5.0编程，经运行实践，在微机Pentium 100上计算运行的时间一般为几min。由于延拓法的原理和特点，因而算法总是收敛的。
　　(4)建模工作的繁琐和对系统规模和方程阶次的限制要求，是本算法需要进一步改进之处。