图1-1  单圆盘转子

         圆盘的质量以m表示，它所受的力是转子的弹性力F
                                  F=-ka                                                                （1-1）

        式中，k为转子的刚度系数，a=OO′。圆盘的运动微分方程为

                                                                  (1-2)  

         令                                                                            (1-3)

         则                                                  (1-4)

        式中，X、Y为振动幅度；φx、φy为相位。
        由（1-4）式可知，圆盘或转子的中心O′，在互相垂直的两个方向作频率为ωn 的简谐振动。在一般情况下，振幅X、Y不相等，O′点的轨迹为一椭圆。O′的这种运动是一种“涡动”或称“进动”。转子的涡动方向与转子的转动角速度ω同向时，称为正进动；与ω反方向时，称为反进动。
        二、临界转速及其影响因素
        随着机器转动速度的逐步提高，在大量生产实践中人们觉察到，当转子转速达到某一数值后，振动就大得使机组无法继续工作，似乎有一道不可逾越的速度屏障，即所谓临界转速。    Jeffcott用一个对称的单转子模型在理论上分析了这一现象，证明只要在振幅还未上升到危险程度时，迅速提高转速，越过临界转速点后，转子振幅会降下来。换句话说，转子在高速区存在着一个稳定的、振幅较小的、可以工作的区域。从此，旋转机械的设计、运行进入了一个新时期，效率高、重量轻的高速转子日益普遍。需要说明的是，从严格意义上讲，临界转速的值并不等于转子的固有频率，而且在临界转速时发生的剧烈振动与共振是不同的物理现象。
       1.转子的临界转速
       如果圆盘的质心G与转轴中心O′不重合，设e为圆盘的偏心距离，即O′G＝e，如图1-2所示，当圆盘以角速度ω转动时，质心G的加速度在坐标上的位置为

图1-2  圆盘质心位置

                                              (1-5)

         参考式（1-2），则轴心O′的运动微分方程为

                            (1-6)

        令  则：(1-7)

        式（1-7）中右边是不平衡质量所产生的激振力。令Z=x＋iy，则式（1-7）的复变量形式为：

                                                              (1-8)

        其特解为                                                          (1-9)

        代入式（1-8)后，可求得振幅

                              (1-10)

       由于不平衡质量造成圆盘或转轴振动响应的放大因子β为

                                                    (1-11)

        由式(1-8)和式(1-11)可知，轴心O′的响应频率和偏心质量产生的激振力频率相同，而相位也相同（ω＜ω。时）或相差180°（ω＞ω。时）。这表明，圆盘转动时，图1-2的O、O′和G三点始终在同一直线上。这直线绕过O点而垂直于OX Y平面的轴以角速度。转动。O′点和G点作同步进动，两者的轨迹是半径不相等的同心圆，这是正常运转的情况。如果在某瞬时，转轴受一横向冲击，则圆盘中心O′同时有自然振动和强迫振动，其合成的运动是比较复杂的。O、O′和G三点不在同一直线上，而且涡动频率与转动角度不相等。实际上由于有外阻力作用，涡动是衰减的。经过一段时间，转子将恢复其正常的同步进动。
        在正常运转的情况下，由式(1-10)可知：
        (1）ω≤ωn时，A＞0，O′点和G点在O点的同一侧，如图1-3（a）所示；
        (2）ω＞ωn 时，A＜0，但A＞e ，G在O和O′点之间，如图1-3（c）所示；
        当ω≥ωn 时，A≈-e，或OO′≈-O′G，圆盘的质心G近似地落在固定点O，振动很小，转动反而比较平稳。这种情况称为“自动对心”。

图1-3  转子质心的相位变化