摘 要：应用Tabu搜索算法来解决配电网电容器优化配置问题，建立了相应的数学模型，目标函数为系统有功损耗费用和补偿电容器费用之和最小。文中在传统Tabu搜索法的基础上，利用灵敏度分析和嵌套Tabu搜索等方法对配电网电容器的安装位置和容量进行了优化配置。利用灵敏度分析可以产生较优的初始解，并在Tabu搜索中定义更好的邻域试验解, 这样可以更快速地搜索到邻域内的最优解；嵌套Tabu搜索法对电容器安装位置和容量分别进行优化配置，保证可以搜索到整个可行域，从而能更有效地搜索全局最优解。用测试算例验证了文中算法的有效性和可行性。
关键词：配电网；Tabu搜索法；灵敏度分析；嵌套Tabu法

1 引言
并联电容器组是配电网无功补偿的重要设备，它可以提高配电网的电压质量，改善功率因数，降低配电网网络损耗，提高系统的安全性等。配电网电容器优化配置实质上就是在满足一些约束条件的情况下，确定电容器优化配置的位置、容量以及电容器类型。这是一个混合整数非线性优化问题。该问题目标函数不可微，不能用常规的优化方法来求解，而且，随着配电网络规模的增大，其计算量将显著增大。
电容器优化配置问题从20世纪60年代就开始研究。文献[1]阐述了研究的发展过程，如早期的方法主要是解析方法（analytical method）。由于当时计算机的计算能力不理想，只能采取一些假设来使目标函数线性化，如假设电容器组容量连续且负荷唯一等。随着计算机技术的飞速发展，使进行大规模的计算成为可能，采用数值规划方法（numerical programming method）和利用迭代技术，在满足一定约束条件的前提下，尽量搜索所有可能的情况，获得全局最优解。该方法虽然可以得到最优解，但计算繁杂，效率很低。进入90年代以来，现代启发式方法（heuristic method）逐渐被引入，包括模拟退火法、遗传算法、神经网络法及Tabu搜索法等，这些优化技术适合于解决纯整数规划和混合规划问题，能够有效地处理不可微的目标函数，而且可以通过经验、直觉和判断等来减小搜索空间，达到快速求解的效果。
本文方法以传统Tabu搜索算法为基础，采用灵敏度分析、嵌套Tabu搜索等手段，实现了快速搜索全局最优解。运用灵敏度分析，不但可生成初始试验解，而且还可以提高邻域内试验解的质量，减少搜索空间；采用嵌套Tabu搜索法对电容器安装位置和安装容量进行配置，提高了搜索速度。该方法应用于测试系统，取得了较好效果。
2 数学模型
2.1 目标函数和约束条件
配电网电容器优化配置问题主要是确定电容器类型、容量、安装位置，但还应考虑全年中不同负荷等级。据文[2]可建立配电网的网损费用和电容器的投资费用之和为最小的目标函数。即

式中 k_e为能量损耗费用系数；P_lossi(X_i)为在负荷等级i下的有功网损；T_i为负荷等级i下的持续时间；U₀为1组电容器的标准容量矢量；为安装在k处的电容器的投资费用；n_t为负荷等级数，n_c为安装电容器的点数。
约束条件是潮流计算约束、节点电压约束、电容器容量约束。本文中的电压约束条件取配电网基准电压的0.95~1.05。在电容器容量约束中，电容器分为固定电容器和可投切电容器。
2.2 灵敏度计算
灵敏度是指全网总的有功损耗对每个节点的无功注入求导。它可以判断在配电网中各个节点安装电容器对网损的影响程度，但只能表明安装单一电容器的效果和节点无功注入微小变化时的效果，故只能作为选择候选安装位置的辅助工具。
电网有功网络损耗的表达式^[3]为

有功网络损耗对每1点的无功注入求导，可得灵敏度表达式

式(5)的最后1项计算相当麻烦，计算工作量大、用时多。经过多次实际计算，该项的数值与第1项数值相比要小得多，故采用近似处理，忽略此项，简化后的表达式为

3 Tabu搜索方法
Tabu方法是F. Glover在20世纪70年代末提出来的，其基本思想是：采用一种灵活的对历史进行记录的技术指导下一步的搜索方向，当到达局部最优解时，Tabu将搜索方向指向导致目标函数退化最小的方向上，由此避开局部最优解。
同其他现代启发式方法（如遗传算法和模拟退火法）相比，Tabu法的寻优能力更加突出。在Tabu搜索法中，对每一个试验解都定义了一个邻域，然后在此邻域内搜索局部最优解。和其他梯度类型的算法不同，Tabu法允许将搜索朝使目标函数退化的方向指引，这样可以避免陷入局部最优解。Tabu算法的最基本的特点是：将已经执行过的移动设置为临时禁止，这样可以避免搜索重复的空间。期望准则(aspiration criterion)是用来检验Tabu表中的各移动是否已经达到了释放水平。当某个移动已经满足期望准则时，说明这个移动虽然还没有在表中保存应有的迭代步数，但它可导致优化过程中有比当前解更优良的解，故应解除对其的限制^[4]。本文对Tabu搜索算法作了改进。
（1）灵活应用灵敏度
有的文献（如文献[2]）报导应用灵敏度分析来减少电容器组的候选安装位置，这样虽然可以减少搜索的空间，但有可能将实际最优解中的某些安装位置过早被忽略掉，影响最终结果的质量。本文采用的灵敏度分析主要用在2个方面：
1）分析产生一较优的可用初始解，它考虑了配电网所有节点，即使效果不理想的节点也考虑在内，同时也保证了搜索空间的多样性；
2）分析在Tabu搜索中定义质量较好的邻域试验解，大大减少邻域的搜索空间，通过灵敏度分析，找出邻域内比较优良的试验解进行计算。实践表明，这样可以有效地提高运行效率^[5]。
（2）考虑激烈化和多样化
激烈化和多样化是相互对立但又相互联系的。激烈化（intensification）表示在邻域内的搜索空间快速得到最优解；多样化（diversification）表示尽量搜索还未搜索过的空间。如果缺少激烈化，则搜索将会变成随机的迭代；如果缺少多样化，则搜索将会陷入局部最小值。故本文将移动定义为2种形式： ① 根据灵敏度分析确定邻域内的较优良的试验解，以保证Tabu搜索法能快速搜索到局部最优解； ② 在通过第1种移动形式产生的试验解已无法再改善目标函数时，则采用随机抽取的方法来形成试验解，以保证邻域内搜索空间的多样化，不致轻易漏掉局部最优解。
（3）采用频度计数器和路径重连
频度计数器（frequency counter）和路径重连(path relinking)^[6]也是本文Tabu搜索算法中的重要实现手段。频度计数器（F）是一重要控制变量，在试验解的邻域内搜索局部最优解时，当通过灵敏度分析产生的试验解已无法改善目标函数时，会自动通过随机抽取的方法产生试验解，当频度计数器计到一定数目后，就认为已经搜索到该邻域内的局部最优解了，可以继续进行下面的迭代；路径重连是一种对优良的试验解进行深入搜索的方法，类似于遗传算法的变异，具体操作是将优良试验解和当前试验解进行混合，生成新的试验解，这个新的试验解包含了优良试验解的精华，有助于产生更好的试验解。
（4）采用嵌套Tabu搜索法
嵌套Tabu搜索法可以将电容器安装位置和安装容量分开配置，它主要用来对已知安装地点的电容器进行容量配置。由于搜索空间相对较小，故可将Tabu方法简化。嵌套Tabu搜索法只需记录所有已执行过的移动，以防重复搜索，而毋需设置复杂的Tabu表和各种准则判据。
本文中提出了将电容器的安装地点和安装容量分别配置，嵌套Tabu搜索用于完成对安装容量的配置。具体实现是：主Tabu搜索负责确定电容器的安装位置，嵌套Tabu搜索对这些给定安装位置的电容器的容量配置进行搜索，直到找到最优的电容器容量配置。此方法的优点是，使算法流程思路清晰，便于理解，互相不干扰，搜索更彻底。实践证明，效果良好。
4 应用Tabu搜索法实现配电网电容器优化配置的步骤
结合配电网电容器优化配置问题的数学模型，应用Tabu算法实现优化的具体步骤为：
（1）输入原始数据，包括网络参数、电压限值、Tabu表深度等。
（2）按照灵敏度公式(6)，分别求出系统中每个节点的灵敏度。然后每次给选定的节点添加1个300kvar的电容器组，由灵敏度分析决定选定的节点。重复此步骤直至目标函数值不再改善，此时得到的解就可作为Tabu搜索的初始试验解。
（3）判断频度计数器(F)：若F=1，则在最高负荷等级下运行潮流和灵敏度计算，根据灵敏度分析的结果生成邻域内的试验解；若F≠1，则用随机抽取的方法生成邻域内的试验解。
（4）对以上生成的每个试验解，按固定电容器和可投切电容器2种情况分别进行计算固定电容器和可投切电容器。
计算固定电容器时，在系统最高负荷时确定电容器容量，然后在不同负荷情况下计算潮流，求得试验解的目标函数；采用嵌套Tabu法找到该情况下的局部最优解。
计算可投切电容器时要分别确定不同负荷情况下的电容器容量^[7]，同时计算目标函数值。同样要用嵌套Tabu法找到该情况下的局部最优解。
（5）对所有邻域内的试验解进行约束条件检验，并对满足约束条件的试验解按目标函数值进行排序。从最优的试验解开始尝试移动，检查该移动是否在Tabu表中被禁止，或是否满足期望准则；若移动被禁止且不满足期望准则，则用次优解尝试，直至找到移动或邻域内所有试验解均不满足条件为止。
（6）判断是否有新移动产生：若有新移动，则更新原始试验解，设置Tabu表的内容，F=1；若无新移动，则F=F 1。
（7）更新全局最优解记录，只记录迄今为止的最优解，而不考虑其是否是执行的移动。然后判断F，若F大于某一给定值，则结束迭代，输出最终结果；否则，回到步骤（2），继续进行迭代操作。
5 算例和结果分析
本文对一测试系统进行了计算。该系统共有36个节点，潮流采用的是传统的前推回代法。其中的一些参数是参考国外文献，故费用单位采用美元（USD）。目标函数有2部分：第一部分是系统网络损耗的费用，损耗的费用参数。K_e=0.06 USD/kWh；第二部分是电容器投资费用，每组电容器容量为300 kvar，其中每组固定电容器投资费用为1564 USD，每组可投切电容器投资费用为2081USD，每个节点上安装的电容器组不超过3组。
测试系统的负荷持续曲线取为S₀=1.1，S₁= 0.8，S₂=0.3，T₀=5840，T₁=1460，T₂=1460。本文考虑10年的规划，即电容器组1次投资可以使用10年，目标函数中的网络损耗也以10年计。具体结果见表1。表中对可投切电容器的容量是按照负荷等级从高到低排列的。

本文算法的效率与许多因素有关。影响最大的因素是潮流计算次数。如本文实例计算结果所示，只考虑固定电容器时只需作3000~4000次潮流计算，若考虑可投切电容器时则要计算12000~13000次潮流，计算量显著增加。因此，潮流算法的效率是很重要的。
本文将Tabu搜索算法和遗传算法应用于同一个测试系统。表2列出了这两种算法的计算效率。

6 实际应用
笔者应用本文的改进算法开发了配电网电容器位置和容量优化配置系统。该系统以地理信息系统为基础，实现了全图形操作。
从实际应用角度考虑，用户对配电网中哪些节点应该安装电容器，在哪些节点安装电容器效果最优等有一定的经验。利用这些信息，可以大大减小搜索空间，快速地得到最优解。为此在本系统中设置了人工干预功能，可供用户选择。
有3种人工干预功能：① 用户指定安装位置。用户可以根据自己的经验选择基础安装地点，算法将以此安装地点为主进行搜索，由于某些安装地点已确定，所以计算速度很快，可很快得到最优解。② 直接在图形上对已计算过的优化配置结果进行修改。因而可以对比前后结果，提出改进方案。③ 用户可以规定安装电容器组的处数，不规定安装位置。④ 用户可规定仅安装几组电容器。
7 结论
实践证明，Tabu搜索法应用于整数组合优化问题是十分有效的。本文的配电网电容器优化配置系统解决了电容器安装地点、电容器类型和电容器容量等问题。以Tabu搜索法为基础，将嵌套Tabu法应用于解决电容器容量配置问题。本文应用了灵敏度分析，生成初始试验解，然后优选邻域内高质量的试验解。该算法用于一36节点的配电网测试系统，结果令人满意，达到了预期的效果。

参考文献

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