1  引言
    电流互感器是电力系统各种保护装置获取一次系统信息的中间媒介，随着系统不断向超高压、大容量方向的发展，互感器铁芯饱和的问题日益严重。电流互感器一旦饱和，误差会大大增加，造成继电保护的不正确动作，扩大事故的影响范围。研究互感器的复合误差已成为提高系统安全运行的重要内容。国际电工委员会（IEC185）^[1]对继电保护用电流互感器提出了“复合误差”的概念，即稳定状态下二次电流的瞬时值i₂与一次电流的瞬时值i₁之差的有效值，如式(1)所示：

式中 k_n为额定电流比，I₁为一次电流的有效值；T为一个周波的时间。式(1)考虑了铁芯的非线性特性，包括了励磁电流和二次电流中出现的高次谐波，因此可以说复合误差在一定程度上综合反映了电流的比误差和相位误差的可能数值。
    目前确定复合误差的方法主要是测量法，如直接测量法、间接测量法（V-A法）等，它们不仅都存在着诸如适用范围有限或测量精度不高等缺陷，而且只能适用于已有产品的误差检验。如果能在对电流互感器磁化特性建立合理数学模型的基础上编制相应的仿真软件来分析复合误差，则不仅能更具体地了解磁化全过程，把握高次谐波分量的大小和分布，还能得到磁化过程中各种电流的实际波形和大小，这无疑对继电保护的整定设计是非常有用的。另外，数字仿真手段除能代替直接试验方法的测量任务外，还可用于产品的优化设计。
    本文介绍的电流互感器暂态仿真程序CTTS（Current Transformer Transient Simulation）正是为上述目的而编制的。它的功能包括：磁化特性曲线的拟合、磁化特性数据库的管理、暂态与稳态特性的仿真计算、复合误差分析、谐波分析、响应特性曲线绘制、磁化特性曲线绘制等。CTTS程序的特点包括：程序在磁化曲线拟合中以人工神经网络（ANN）的非线性学习能力为基础，采用最速下降优化原理进行参数确定，并考虑用附加斜线对磁化曲线饱和段作大范围外延处理，使拟合曲线具有较好的外推特性；微分方程求解中采用离散化数值方法，与直接求导数的求解方法相比，数值稳定性较高；程序判断电路进入稳态后，进行复合误差计算及谐波分析。同时程序还考虑了界面友好和输入/ 输出信息交换方便等特性。文中用CTTS程序进行了仿真计算，通过与实验数据及其它仿真结果^[2]的比较，证实该仿真程序可信。
2  CTTS仿真软件的基本原理
2.1  电流互感器的等效电路
    电流互感器归算到副边的等效电路图见图1。

    图中，R₂表示负载电阻和二次线圈的电阻总和，L₂则包括负载电感和二次线圈的漏抗（近似认为二次漏抗为常数）；在忽略铁芯涡流损耗的前提下（涡流损耗近似计入R₂中），用L₀表示励磁电流i₀与铁芯磁密B之间的关系。于是可得：

式中 为归算到副边的一次侧电流；N₂为二次线圈匝数；B为铁芯磁密；S为铁芯截面积；R₂为二次回路总电阻；L₂为二次回路总电感；i₁为一次侧电流；i₂为二次侧电流；Kn为额定电流比；i₀为励磁电流；H为铁芯磁场强度；l为铁芯磁路平均长度。
    将式(2)、(4)、(5)代入式(3)，可导出铁芯磁密B与磁场强度H间应满足的微分方程：

显然，求解式(6)的，关键是建立电流互感器铁芯磁化特性的数学模型。
2.2  磁化特性曲线的人工神经网络(ANN)拟合方法
    铁芯磁化特性的拟合是电流互感器动态特性研究和复合误差分析的核心，但由于铁磁材料磁化特性的非线性、磁滞及剩磁等特点，特性拟合又是一个难度很大至今未获得圆满解决的问题。由于人工神经网络（ANN）具有较强的非线性综合能力，近年来人们将其应用于磁化曲线的拟合，Sigmoid函数^[3]（又称S形函数）是在ANN中广泛采用的一种静态神经元模型的变换函数。CTTS程序中以Sigmoid函数为基础来模拟铁芯的磁化曲线。虽然Sigmoid函数很适合于模拟基本磁化曲线，但要进行电流互感器的动态特性研究和复合误差分析还必须模拟不同幅值的磁滞回线。为此可以在基本Sigmoid函数的基础上进行坐标轴平移，以得到磁滞回线的上升分支和下降分支；对坐标轴标度进行压缩(放大)，以得到对应于不同稳态值的各磁滞回线。于是包含有曲线变化速率、变化范围及平移大小的三个变量α、β、γ的函数式可以完整地模拟全部磁滞回线族：

2.3  电流互感器稳态磁化特性ANN模型的训练
    对于给定的某种铁芯材料，通过实验方法可获得若干条磁滞回线^[4]，即获得样本。适当地选择这些磁滞回线及其上的代表点，可得到如下样本点：

对参数α、β、γ的训练可以在选定初值后对给定稳态值所对应的磁滞回线采用如下最速下降原理完成：

式中  h为学习率。为提高训练的速度和保证收敛性，通常在开始阶段选取较大的h值，而在后续阶段则选用较小的h值。ρ_α(k),ρ_β(k),ρ_γ(k)称为α、β、γ的修正率，定义为：

实际仿真结果表明，在电流很大、铁芯高度饱和时，由于Sigmoid函数的快速饱和特性，会出现数值不稳定或计算不收敛等问题，采用Sigmoid函数两侧加斜线外延的方法予以校正，获得了满意的效果。斜线的斜率可由仿真结果与实测数据对照调整。
2.4  微分方程的数值求解
    解决了电流互感器稳态磁化特性的ANN建模问题后，可利用数值方法求解对电流互感器等效电路所编写的微分方程式(6)。将其做离散化处理，有：

显然，在求解上式时B(k+1)和H(k+1)应满足铁芯的磁化特性曲线，所以在求解式(13)时可直接对式(8)所表示的B、H关系（由ANN模拟）进行非线性迭代。
3  复合误差计算与谐波分析
    上节所述求解微分方程式(6)的数值方法，本质上属于暂态仿真，而复合误差的计算和谐波分析则属于稳态概念。因此在用CTTS仿真软件完成上述任务时首先需要对电路是否已进入稳定状态进行判断，待电路进入稳态后在一个周期时间内将式(1)作离散化处理，设每个周期T内对应的采样点数为N，则可得复合误差为：

而各次谐波分量的幅值和初始相位可通过离散傅立叶分析得到。
    需要指出的是，在研究电流互感器的暂态特性时由于一次电流非周期分量和铁芯剩磁等的影响，铁芯在暂态过程中的磁化轨迹将不再仅限于对称于坐标原点的各磁滞回线，还会出现一个个局部回线，模拟暂态特性远比模拟稳态特性复杂。由于本程序的主要目的在于进行稳态分析，因此只考虑最终到达的稳定状态，而对到达稳态之前的暂态阶段不作考虑。
4  仿真算例与有关分析
4.1  磁化曲线的拟合
    图2为根据Z11环形铁芯实验数据^[2]拟合并绘制的磁化曲线，为实际应用的方便，所得磁化曲线转化为稳态磁通与电流对应的磁滞回线。

4.2 剩磁的影响
    互感器剩磁不同，对于同样的互感器的一、二次电流和励磁电流i₀会有不同的动态过程，分析表明：剩磁的影响主要表现在暂态过程初期，而对稳定后的波形几乎没有影响。因此剩磁对基于稳态分析的综合误差影响不大。
4.3  仿真结果示例
    图3为励磁电流从暂态过渡到稳态的电流仿真结果。

4.4  复合误差计算实例
    为说明CTTS仿真程序的可靠性，这里用北京互感器厂提供的6组复合误差实验数据及文献[2]中给出的仿真计算结果进行对照，结果示于表1。
4.5  谐波分析结果
    用CTTS仿真程序对上述6组参数对应的电流互感器的仿真电流进行了谐波分析，结果示于表2。

    从以上6组电流互感器参数的误差分析及谐波分析的仿真结果可以看出，铁芯磁路的平均长度及截面积、二次回路的参数等对暂态过程、复合误差、谐波组成等有一定的影响，特别是铁芯截面影响最大，应在互感器设计中重点考虑。
    实验方法本身存在一定的误差，而各种仿真方法也会由于不同的简化分析、不同的曲线拟合、不同的时域求解产生一定差别。本仿真程序与实验结果及其他仿真结果较为一致，有较好的通用性和较好的输入、输出方式、较好的数值稳定性，可用于电磁式电流互感器的应用研究与开发。
5  结束语
    CTTS仿真程序适用于电流互感器复合误差的计算和谐波

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