1  引言
    配电电容器优化投切^[1-4]是用来决定配电系统中已安装的电容器组在不同负荷状态下的投入和切除（对可调电容器组，还要决定其投入的组数）策略，以减少系统运行时的功率或能量损耗的一种运行优化手段。
    由于配电系统中存在着大量的三相不对称负荷、三相不平衡接地或不接地线路和两相或单相运行的线路，而且配电系统的三相不平衡问题又比较突出，因而，配电电容器优化投切问题就应该考虑三相不平衡的情况，而在这方面的工作目前还比较少^[5-7]。
    由于电容器具有一定的操作费用和使用寿命，因而电容器操作次数约束也是配电电容器的优化投切中有必要考虑的问题。
    本文采用改进的具有记忆指导的模拟退火算法，实现了考虑三相不平衡和负荷变化曲线的配电电容器的三相优化投切。
2   记忆指导的模拟退火算法
    模拟退火算法^[8]是由Kirkpatrick等人提出的一种求解大规模组合优化问题的方法。它源于对固体退火过程的模拟，采用Metropolis接受准则，并用一组称为冷却进度表的参数控制算法进程，使算法在多项式求解中给出一个近似最优解。
    模拟退火过程的终止准则可以有多种选择，如在相继的若干个Markov链中所求的解未得到任何改善时即可认为收敛；当控制参数t值小于某一正数e时即认为收敛等。但这些准则都无法保证算法所得最终解是最优的，甚至无法保证是整个搜索过程中的最优解。因此，如果增加一个记忆器，记录一直到当前搜索过程中发现的最优解，将退火过程结束后的最终解与之比较，取其较优者作为最后的结果，这样通常就可提高算法解的质量。称这种算法为有记忆的模拟退火算法。但是该算法对记录的最优解的利用是有限的。如果将其改进为在若干次“降温”搜索之后，以记录的最优解而不是当前解作为下一温度搜索的起始点，则可以实现记录的最优解对算法的搜索过程的指导作用，加快搜索速度。
3  三相电容器投切的模拟退火算法的实现
3.1 解空间
    解空间包含所有电容器在各个时段上的所有可能的投切组合。假设系统中已配置n台并联电容器组，其中第k台电容器组共分为m_k档（第0档到第m_k-1档，其中第0档表示电容器组完全切除），k=1，2，…，n。若用表示第k台电容器在时段i的各相档位状态的矢量，则表达了第k台电容器在24个时段上的各相档位的状态变化。因而，解空间也就可以定义为u=[u₁,u₂,……u_n-1,u_n]^T的所有可能的取值。
3. 2  数学模型
    电容器投切问题以1h时段作为基本的分析单位，以系统能量损耗和电容器投切费用的总和为最小作为优化目标

数；l_ei为第i时段内单位能量损耗的费用系数；C_k(u_k)为第k台电容器一日的总投切费用；u_k为第k台电容器以一日24h中各时段的档位为元素的投切档位3×24矩阵。 
3.3  考虑操作次数约束时的新解
    参照文献[2]，考虑电容器每日的操作次数约束为2次的情况。设某台电容器组由m-1个单元电容器组成，则该电容器组共分为m档，其中0档表示所有的单元电容器都不投入。
    用k₀表示上一日继承来的档位（注意并不一定是第0档），k_i和k_j为2个不同的档位，i，j=1，2，…，m_k-1，且 i¹j，k_i¹k₀，但k_j可以等于k₀。在一日24个时段内的电容器可能投入档位的情形如图1所示。图中，n₀、n₁和n₂分别为k₀、k_i和k_j档位投入的时段数，n₀,n₁, n₂ÎZ,且

    设电容器组由前一日继承来的档位在第k₀档，则产生新解的过程为：
    ① 随机产生0到24之间的整数n₀作为保持前一日继承来的档位k₀的所到达的时刻。如果n₀=24，则转④。
    ② 随机产生0到m-1之间的整数k_i，且要求k_i¹k₀。将第k_i档作为电容器第1次操作新调整到的档位。然后随机产生n₀到24之间的整数n₁作为电容器新调整到的档位从时刻n₀开始到投运的时刻。如果n₁=24，则转④。
    ③随机产生0到m-1之间的整数k_j，且要求k_j¹k_i，但可k_j=k₀。将第k_j档作为电容器第2次操作新调整到的档位。电容器第2次新调整到的档位将从时刻n₁开始投运，直到当日的最后时刻24点。
    ④ 结束。
3.4  接受准则
    产生的新解根据Metropolis接受准则式(3)来决定接受还是放弃。

式中DC为新解的目标函数相对于原解的目标函数的差值；T为模拟退火过程引入的对应温度的控制参数。
    采用Metropolis接受准则的优点是可以对恶化解以一定的概率来接受，以尽可能避免陷入局部最优，最终获得系统的全局或近似全局最优解。
4  算例及分析
    本文采用了3个基本算例：①12.66kV 69母线三相平衡系统^[9]；②从文献[6]引入并进行了数据改造的23kV 30母线三相不平衡系统；③292母线三相不平衡系统。
    69母线三相平衡系统作为PG&E配电系统的一部分，含有7条分支线。292母线三相不平衡系统作为NYSEG配电系统的一部分，含有6台变压器，305条线路，其中77条为分支线。30母线三相不平衡系统的数据见附录。
    根据负荷预报得到的下一日阶梯形日负荷曲线来实现配电电容器的优化投切。假定根据负荷预报得到的下一日某母线的阶梯形日负荷曲线如图2所示，其纵坐标是以24h的平均功率为基准的 标幺值功率，也称负荷曲线系数。表1列出了日负荷曲线上各时刻所对应的负荷曲线系数。
    可以将配电系统的负荷母线按用电性质分类，一般认为同一类负荷母线的日负荷曲线的形状大致相同。
    为了简化讨论，假定当前系统的负荷母线都属于同一类型，其母线的负荷曲线形状和各时刻的负荷曲线系数即如图2和表1所示。实际的拥有多种类型负荷母线的情况，不过是该简单情况的细化，丝毫不会影响该方法的有效性。另外假定任意时段上单位能量损耗的费用系数l_ek=1.0，k=1，2，…，24。至于实际的配电系统则需根据实际情况选取合适的数值。

4.1  三相平衡系统
    假设69母线三相平衡系统已配置6组并联电容器组，而每组并联电容器组又由多个单元电容器组成。
    表2示出了各并联电容器组的安装位置、单元容量和单元数。单元数为1的电容器为固定电容器，单元数大于1的为可调电容器。
    为了便于结果的比较，假定从前一日继承来的电容器投切情况是，所有的电容器都在未投运状态。

    表3列出了考虑操作次数约束和不考虑操作次数约束时的电容器投切策略所降低的系统能量损耗。

        从表3可见，考虑电容器操作次数约束进行电容器投切的系统能量损耗要大于不考虑电容器操作次数约束的情况。
    表4列出了考虑操作次数约束和不考虑操作次数约束时的电容器投切方案，即一日24h的每一时段各电容器所投入的档位。
    由表4可见，考虑电容器操作次数约束后，进行电容器投切的系统能量损耗略大于不考虑电容器操作次数约束时的损耗，但前者在一日内的操作普遍比较频繁，如安装在母线11和30上的电容器组在一日内的操作次数甚至在10次以上，这在实际运行中是不允许的。因此，从工程实际出发，必须考虑电容器操作次数受约束的问题。
4.2  三相不平衡系统
    30母线三相不平衡配电系统如图3所示。

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