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n=0，1，2，…，N－1
注意N至少等于1。
用泰勒级数，输入信号X(t)的小波变换为：
注意上式中的m从一开始，由于泰勒级数的系数组成一个单调序列，因此等式2可以近似为：
从以上可以看出小波变换是以同步时间和尺度信息的形式检测，提取电能质量扰动特征。
2模式识别
神经网络具有很好的自学功能和自适应能力，当给其提供一系列样本时，它可以依靠其经验来识别模式。一个神经元的输入列向量X＝［x(1),…,x(p)］T的第n个元素X(n)通过一个权重因子m(k,n)与一个神经元K联系在一起。
神经元K的权重矢量是：mk＝［m(k,1)，…，m(k,p)］。输出Uk可通过一个简单的门槛阀值函数或更复杂函数的“启动系数”ψ(·)来传递。在神经元K启动函数的输出是Yk＝ψ(uk)。使用了多层(LVQ)来进行模式识别。
令X＝X(t)为LVQ训练阶段t的输入信号列向量，这里X∈Rn。假设有K个神经元以权重矢量｛mi(t),i=1,2,…,K-1,K｝与输入模式矢量相连，这里mi(t)=［m(i,1),…,m(i,n)］T。LVQ的结构见图1。输入模式矢量X(t)和神经元mi(t)间的最近距离是以mc(t)表示的最佳匹配神经元。因此在k个神经元中，只有神经元mc(t)对输入信号X(t)作出响应，竞争学习的输出矢量是B。确定最匹配神经元的一种简单方法是点乘距离测量。X(t)和mi(t)的点乘距离测度是X(t)Tmc(t)。最匹配神经元mc(t)可以从下式中的神经元中选取最大点乘距离测度得到：
对｛i，2，…，K－1，K｝
输入信号列矢信号X(t)是在一定尺度下的小波变换系数的平方，在训练阶段，输入模式矢量的扰动类型是已知的。这些信息可以协调一个或一组神经元以便一次只有一个神经元对相似的输入模式矢量作出响应。在训练阶段完成后，神经元mi(t)的权重系数代表一类相似模式。
在训练过程中，令X＝X(t)为属于已知类Ct的输入矢量，LVQ网络的输出给出属于类Cr的最匹配神经元mc(t)，并按下式进行更新：
这里α是单调下降学习速度函数。当调整后的LVQ 100%正确识别输入信号，则认为训练阶段达到收敛。
3证据累加和决策
为了对扰动波形的类型做最后的决定，每一个神经网络的输出必须被合并，最简单的方法是使用投票制度。另一种方法是使用Dempster-Shafer证据理论来综合每个神经网络的输出。
Dempster-Shafer证据理论提供了一种制定决策的方法，并给出决策制定的可信度。
⊙为所有可能假设中互斥的完备有限组，n＝｜⊙｜是⊙中的元素的总数。令μi,j代表支持假设i的证据，这里j表示μi,j的一个集合。令u({i})为代表确切表示支持i的累加证据，定义如下：
同样，令
i,j代表反对假设的证据。因此，确切表示反对类型Ⅰ的累加证据是
为了计算更高的可能性量B*(i)，首许计算仅对假设i的置信函数Z＝－i＝⊙－i。置信函数Bel(｛z｝)为：
多层神经网络组被用来提供支持假设的证据。由于没有反对任何假设的证据，所以ωi,j＝0。因此，置信区间的计算过程可以简化如下：
4总体框架
在评价了小波和方法在电能质量扰动波形识别中的用途后，这里介绍基于小波神经网络方法在波形识别中的整个过程。其基本思想是在小波域用多层神经网络来进行波形识别。图2表明了基于小波的神经分类器的理论框图由预处理、处理和后处理阶段组成。分类器的输入是时域扰动信号，然后将时域电能质量扰动波形在被输入神经网络之前被转换到小波域，并以二进正交小波变换来实现以同步时频信息的形式检测和抽取扰动特征和扰动信号的斜率与坡度，这些提取的信息有助于神经网络区分扰动事件。处理阶段包括了一组以小波变换系数作为输入信号的多层人工神经网络，需用后处理过程来综合多层神经网络的输出，以便决定扰动的类型并为决策提供一个信任等级。输出是扰动的类型和其相应的置信度。
5结论
介绍的方法由三个基本方法组成：小波变换检测和抽取扰动特征，学习矢量量化网络学习总结特征和决策制定。它可以与其他专家系统结合来简化电能质量扰动的识别，并可以被安装于配电馈线来检测电能质量问题，估计扰动的统计特征。
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