600
700
800
从图2中可知，所求场域沿x和y轴都具有对称性，因而只须计算其四分之一场域即可。我们取图2中第一象限的区域为计算区域，因区域Ω2的媒质磁导率为空气磁导率的10000倍，在求解时近似认为Ω2区域以外已没有磁场，故可假设外边界 Ω为一零值等矢量磁位线。又J=Jk，则矢量磁位A=Ak。对于所取计算区域，其边值问题如下
式中 Ω01，Ω12——Ω0与Ω1和Ω1与Ω2的交接面
Ω2 ——对称边界面
将求解区域粗剖分为20个节点，24个三角形单元，在此基础上加密剖分。运用有限元外推插值法(相应剖分为24和96个三角单元)和线性有限元法(相应剖分为394个三角单元)计算磁场。表2和表3分别列出了不同点的矢量磁位和对称边界Ω2上磁场强度切向分量的计算值，图3和图4分别示出了以媒质分界面连续性条件考察的计算精确度(设A、B分别表示场量在分界面两侧的切向分量值，相对误差 。
表2 不同点矢量磁位的比较
坐标
x=1.0cm
y/cm
线性有限元法
(24单元，20节点）
线性有限元法
(96单元，
63节点)
有限元外
推插值法
线性有限元法
(384单元，
221节点)
0.0
98006.0
102053
103402
103519
0.5
102052
103401
102517
1.0
97998.2
102045
103394
103511
1.5
102033
103381
103498
2.0
97969.0
102008
103354
103467
2.5
95272.2
96525.2
96436.5
3.0
85824.3
89303.3
90463.0
90411.7
3.5
43817.9
44397.7
44390.0
图3 两种媒质分界面上(x=2.0cm)Ht的误差分布曲线
1.线性有限元法 2.有限元外推插值法
Fig.3 The error distribution curves of Ht on
the interface of two media at x=2.0cm
表3 两种方法在第二类齐次边界Ω2上的比较
坐标
x=0.0
y/cm
有限元外推插值法
Hy值/(A.cm-1)
线性有限元法
Hy值/(A.cm-1)
0.3
1.425
2.45
0.8
0.15
2.95
1.3
3.525
4.85
1.8
7.304
8.487
2.3
0.11
0.213
2.8
0.136
0.272
坐标
x=0.0
x/cm
有限元外推插值法
Hx值/(A.cm-1)
线性有限元法
Hx值/(A.cm-1)
0.2
0.634
3.14
0.7
1.24
2.69
1.2
0.034
0.268
1.7
0.23
0.37
2.2
0.008
0.05
图4 两种媒质分界面上(x=1.0cm)Ht的误差分布曲线
1.线性有限元法 2.有限元外推插值法
Fig.4 The error distribution curves of Ht on the
interface of two media at x=1.0cm
从上述算例可见，按有限元外推插值法求得的磁位值整体逼近度明显地优于线性有限元法，在磁位值整体逼近度相近的情况下，其场矢量能更好地满足媒质分界面条件。
5 结论
本文从算法形成、算例计算论证了在非线性磁场的计算中，有限元外推插值法的可行性，用本文方法计算非线性电磁场，在整体逼近度相近的情况下，其计算量和存储量将比用线性有限元法少的多。反映在相同场域部分情况下，它具有的计算精度高、计算量和内存占用量增加不大等显著特点，为运用PC机来解决工程非线性磁场的计算问题提供了可能。特别是这种方法基于线性有限元法，实施简单，编程方便，对于熟悉用线性有限元方法计算非线性场的人们来说可以轻而易举地掌握，由此体现出了这种方法的研究价值。
参考文献
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2 Chen C M.Extrapolation of triangular linear element in general domain.高等学校计算数学学报，1989(3)
3 林群等.有限元的预处理和后处理理论.上海科学技术出版社，1994.
4 林群等.有限元方法的插值和校正.数学的实践与认识，1991(9)
5 Zhang Y,Lewiner J, Alquie C,Hampton N.Evidence of strong correlation between space-charge buildup and breakdown in cable insulation.IEEE Trans.DEI,1996,3(6):778～783
6 Hozumi N,Suzuki H,Okamoto T,Watanabe K,Watanabe A.Direct observation of time-dependent space charge profiles in XLPE cable under high electric fields.IEEE Trans.DEI,1994,1(6):1068～1076
7 Hole S,Alquie C,Lewiner J.Measurement of space-charge distribution in insulators under very rapidly varying voltage.IEEE Trans.DEI,1997,4(6):719～724
8 Li Y,Kawai J,Ebinuma Y,Fujiwara Y.Space charge behavior under ac voltage in water-treed PE observed by the PEA method.IEEE Trans.DEI,1997,4(1):52～57
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