刚体弹簧元法是一种新的数值计算方法，它与工程中常用的刚体极限平衡法推求动力安全系数的方法，以及与传统有限元动力分析推求动力安全系数的方法的显著区别在于：（1）在地震动力分析中，该方法可以求得任意时刻交界面上的正应力和剪应力，因而可以积分得到任意时刻滑动体上的下滑力和总的阻滑力，从而求得该时刻的瞬时安全系数。（2）利用刚体弹簧元法可以直接推求交界面的面力，从而克服了传统位移型有限元法在单元间的应力跃动缺陷和位移有限元法难以直接推求任意交界面抗滑安全系数的缺点，使得最危险滑移面的搜索成为可能。该法已成功应用于实际工程项目中。
刚体弹簧元法的地震动力方程式为［1、2］：


　　设初始静应力场为，则在动荷载作用下，各点应力将因地震作用而产生附加动应力场。由此各时刻的总应力场为：

　　刚体弹簧元单元交界面上正应力σn及剪应力τs、τt均为时间t的函数，故在动力情况下，安全系数将不再是一个定值，其量值可由下式求得：

　　在实时分析法中［2］，采用刚体弹簧元法计算得到的结构在地震作用下的动力抗滑稳定安全系数随地震发生的时间而发生波动，因而需要花费大量的计算时间对各时刻的地震动力方程进行求解才能确定最小的抗滑稳定安全系数及其滑移路径。
　　本文采用振型分解反应谱法来确定结构的最小抗滑稳定安全系数及其最危险滑移路径。振型分解反应谱理论假设结构物最不利地震反应为其最大地震反应，这样就可以一次求出最大地震内力或位移，从而确定出结构物在最不利地震反应下的抗滑稳定安全系数及其最危险滑移路径，节约了大量的计算时间和计算量，提高了计算效率。
　　工程实际中往往采用与平均反应谱相对应的β谱曲线作为计算地震作用的依据。设第j振型圆频率为ωj，周期Tj＝2π／ωj，则该振型的反应谱代表值β（T）如图1所示［3］（阻尼系数ξ＝0．05）。
　　图中βmax为设计反应谱最大值的代表值，Tg为特征周期。
第j振型的振型参与系数γj按下式计算：

　　对于第j振型，按式（5）计算出动位移极值u_～j后，便可求解出一组相应于第j振型的内力反应，将这些反应统一记为Sj。当取结构的前m个振型叠加时，先计算出m组Sj，然后按下式计算地震作用的总效应［3］：

4　计算结果及分析
4．1　计算条件
　　本次百色重力坝6AB坝段坝基抗震稳定性分析的计算范围（见图2）：X方向由右岸指向左岸，上游宽49．279m，下游宽76．255m；Y轴由下游指向上游，总长611．0m；铅直向底部取至－160．0m高程，顶部延伸至地表。离散中，坝体及坝基岩体采用空间8节点等参实体夹层单元模拟，整个计算区域共划分节点8 550个，单元8 005个，生成单元交界面21 224个。设计基本参数如下：
水库正常蓄水位　　228．00m
下游正常水位　　　121．65m
下游最低水位　　　118．60m
水库校核洪水位　　231．49m
下游校核水位　　　135．23m
淤沙高程　　　　　142．00m
　　荷载组合为：蓄水位＋淤沙＋坝体自重＋渗透体力＋地震效应。计算采用的岩体及结构面主要力学参数参见表1。
　　百色重力坝水平向峰值加速度ah＝0．202 g，场地周期Tg＝0．2s，βmax＝2．0。坝体与库水的耦合作用按照附加质量法计入。
4．2　计算结果
4．2．1　地震位移分析
　　图3给出了6AB坝体的前四阶特征周期和特征振型。图4给出了6AB坝段坝基及坝体水平向的动位移极值。
从图4可见，百色重力坝地震水平动位移随高程升高而增大，同一高程水平截面上，坝体各点水平位移十分接近，尤其在位移较大的坝体上部，水平位移等值线几乎呈一组水平线。坝顶水平向动位移极值约为7．8cm。

4．2．2　地震应力分析
　　图5和图6分别为峰值地震响应下6AB坝段坝体／基岩接触面上正应力和剪应力的等值线图。
　　从正应力分布图可见，坝踵拉应力区首先产生于F6断层塞子处（施工中将F6断层在一定深度范围内置换为混凝土塞），地震工况下的量值在－1．5 MPa左右。在量值上，F6断层塞子底部及右侧正应力明显大于左侧。
　　从剪应力分布图可见，建基面下游侧剪应力明显大于上游侧。这说明在地震动力工况下，坝体下游岩体的抗剪强度对维持坝身的抗滑稳定性起着关键的作用。
4．2．3　可能滑移路径的搜索和动力抗滑安全系数的推求
　　在用刚体弹簧元法求得单元交界面上的正应力和剪应力之后，即可积分求得各滑移路径上的下滑力和阻滑力，从而根据式（3）求得沿该滑动面的稳定安全系数。经对6AB坝段可能滑移路径的搜索，共搜索到11条滑动面的滑移路径。图7为第6条坝基滑移路径的立体图。
　　表2总结了11条滑移路径动力、静力条件下抗滑稳定安全系数的比较结果。
　　从表2可以看出，在地震作用下，第1滑动面的抗滑稳定安全系数由静力条件下的Ks＝3．35降至动力条件下的Kd＝2．64，它位于坝体和基岩的交界面上。第3滑动面的抗滑稳定安全系数则由静力条件下的Ks＝3．51降至动力条件下的Kd＝2．73，变化幅度较为明显。
5　结 论
　　本文采用刚体弹簧元振型分解反应谱法分析坝体在地震动力荷载作用下的稳定性，确定出坝体前四阶特征周期和特征振型、坝基动位移及动应力，并进行了最危险滑移路径的搜索和滑动面上动安全系数的推求。同时，将采用刚体弹簧元法所得的动力安全系数与静力条件下的安全系数作了比较分析。
比较结果表明，在动力荷载作用下，坝体的抗滑安全系数有较大幅度的下降，6AB坝段最小动力抗滑安全系数Kd＝2．64，抗滑稳定性满足设计要求。

参考文献：