1 引言
在离散小波变换中，二进小波变换和基于二进制划分的多分辨分析起了非常重要的作用。它们能变换并能提取信号在尺度j及其附近的频率分量。但是，当j较大时，对于信号在尺度j与j＋1之间的 本文提出的整数N进小波变换和分数小波变换方法，是为了提高离散小波变换的速度，以满足工程上实时性的需求而从另一角度对信号进行小波变换，在许多情况下，尺度j只取1或－1即可。
2 整数N进小波变换和分数小波变换方法
整数N进小波变换的逆变换为
ΨN，j，k（t）（3）
3 两种小波变换方法的多分辨分析
基于整数N进制划分和分数进制划分的多分辨分析基本上与基于二进制划分的多分辨分析相同，这里仅列出其中不同的项。
设φ（t）为尺度函数，则基于整数N进制划分的多分辨分析的尺度空间为
Vj＝｛φ（N－jt）｜φ（t）∈V0｝，
其伸缩性条件为
φ（N－jt）∈Vj∈←→φ（N－j+1t）∈ Vj-1
尺度空间Vj的正交补空间为
Wj＝｛Ψ（N－jt－k），j，k∈Z｝
且 Vj○+Wj=Vj-1
同样，对于上述尺度函数φ（t），其相应的小波函数为Ψ（t），则基于分数进制划分的多分辨分析的尺度空间为
Vj＝｛φ（θ－jt）｜φ（t）∈V0｝
伸缩性条件为
φ（θ－jt）∈Vj∈←→φ（N－j+1t）∈ Vj-1
Vj的正交补空间为
Wj＝｛Ψ（θ－jt－k），j，k∈Z｝
整数N进制小波变换和分数小波变换除了具有连续小波变换和二进制小波变换的时频局部化特点外，还具有以下特点：
（1）提取信号的谐波分量更具有针对性和准确性；
（2）分数小波变换能提取信号的非整次谐波分量；
（3）避免了二进制小波变换的多次迭代；
（4）缩短了计算时间；
（5）整数N进制小波函数和分数小波函数均满足容许性条件。
4 两种小波变换的谐波提取方法
对于不同的整数N，其小波函数的时频结构是不一样的，且随着整数N的增大，小波函数振荡加快，其频窗中心向高频方向移动。因此，把小波函数Ψ（t）的频窗中心变换到基频ω1＝2πf1（f1＝50Hz），则整数N进小波变换只要取j＝－1即可。当N取不同的正整数k（k小于或等于信号中最大的谐波次数）时，就可提取信号的k次谐波分量。下面的例子说明了这一点。
设由1次谐波为s11（t）（即sin（2πf1t）、2次谐波为s12（t）（即sin（4πf1t））和3次谐波为s13（t）（即sin（6πf1t），其波形如图1（a）中的a11、a12和a13所示，它们的合成信号如图1中的（a1）所示
s1（t）＝sin（2πf1t）＋sin（4πf1t）＋sin（6πf1t）（7）
对s1（t）进行3个不同整数的Morlet小波变换，其变换结果为w1（t）、w2（t）和w3（t），依次如图1（a）中的（a21）、（a22）和（a23）所示。图1（a）中的（a31）、（a32）和（a33）分别为各整数小波变换的频率特性。
s2（t）如图1（b1）所示是一个含有47．75 Hz（用s21（t）表示）、48．25 Hz（用s22（t）表示）和48．75HZ（用s23（t）表示）的分数谐波信号，其波形分别示于图1（b11）、（b12）和（b13）中。
对图1（b1）中信号s2（t）进行3个不同的分数小波变换，其变换后的波形如图1（b21）、（b22）和（b23）所示。图1（b31）、（b32）和（b33）分别为各分数小波变换的频率特性。
由图1可见，整数小波变换能较准确地区分信号的各整次谐波分量；分数小波变换能较好地区分含有分数谐波信号的各分数次谐波分量。
有关整数小波变换和分数小波变换的选频能力，可由各小波变换的谐波分量的比值确定。
在图1中，对于整数小波变换，当需要提取信号的基频分量时，使用整数小波变换提取了信号的50Hz分量，但同时引入了部分100 Hz和150 Hz的分量（占非常小的部分），它们各幅频特性中最大值比值为：｜W50｜／｜W100｜＝96；｜W50／W150｜＝166。即2次谐波分量是基波分量的1％左右，3次谐波分量是基波分量的0．6％左右。
当提取信号的100 Hz分量时，它们各幅频特性中最大值比值为｜W100｜／｜W50｜＝9；｜W100｜／｜W150｜＝27。即基波分量是2次谐波分量的11％左右，3次谐波分量是2次谐波分量的3．7％左右。
当提取信号的150 Hz分量时，它们各幅频特性中最大值比值为｜W150｜／｜W50｜＝74；｜W150｜／｜W100｜＝37。即基波分量是3次谐波分量的1．4％左右，2次谐波分量是3次谐波分量的2．7％左右。
对于分数小波变换，当提取信号的47．75 Hz分量时，它们各幅频特性中最大值比值为 ｜W47．75｜／｜W48．25｜＝56；｜W47．75｜／｜W48．75｜＝77。当提取信号的48．25 Hz分量时，它们各幅频特性中最大值比值为｜W48．25｜／｜W47．75｜＝5．9；｜W48．25｜／｜W48．75｜＝5．8；当提取信号的48．75 Hz分量时，它们各幅频特性中最大值比值为｜W48．75｜／｜W47．75｜＝58；｜W48．75｜／｜W48．25｜＝16；从这些比值可以看出整数小波变换和分数小波变换都具有较高的选频能力，且越靠近边频，其选频能力越强。
5 两种小波变换方法在发电机转子故障信号分析中的应用
整数N进小波变换和分数小波变换应用于电力系统故障分析，同样能得出有意义的结果。限于篇幅，本文应用这两种小波变换，对发电机转子两点接地故障的部分信号进行分析。
对于发电机转子故障信号，用整数N进小波变换和整数附近的分数小波变换所得到的结果是相似的。整数N进小波变换在于突出转子故障信号的基波及其整数倍数的谐波分量，以分析转子故障特征。分数小波变换在于突出转子故障信号的分数次谐波分量，例如，频率的微小变化、外来干扰、磁场变化以及工作特性与频率有关的电力电子设备引起的分数次谐波分量等。
但是，整数小波变换与分数小波变换有各自不同的特点：
（1）整数小波变换主要在整数域内进行，但分数小波变换可以突破整数域的范围而进入分数或有理数域内进行。
（2）整数小波变换主要提取待分析信号的整数次谐波分量，抑制或滤除分数次谐波分量，但分数小波变换主要提取待分析信号的分数次谐波分量，抑制或滤除其整数次谐波分量。
（3）当进行小波变换的整数值和分数值接近时，整数小波变换与分数小波变换的结果相似；当进行小波变换的整数值和分数值相差较远时，整数小波变换与分数小波变换的结果不同，它与信号的频率分布有关。
传统的发电机故障分析所使用的方法一般是基于傅立叶分析算法。其发电机（包括电力网络）故障判别的常规方法是利用故障前后的电流电压信号有效值或幅值是否大于某一给定的阈值，而构成故障判别方法。然而，基于富氏变换与基于小波变换所得到的结果有明显的差别，如图4所示。
由图4可见，凡是富氏变换能检测到的转子绕组两点接地故障信号的故障特征，小波变换也能检测到，而且小波变换较富氏变换具有较少的波动性和较好的启动特性，且当连接于系统的发电机在频率偏离50 Hz时发生故障，此时，基于傅立叶分析算法不能检测故障特征，但基于小波分析算法仍然能准确地检测故障特征。经过大量研究计算，对于发电机转子绕组匝间短路、一点接地和失磁故障、以及发电机定子端发生的故障（单相接地、匝间短路、相间短路）均有相同的结论。
表1列出了转子两点接地故障中两种小波变换的故障前和故障后4个周期的小波变换模值及其对应的比值。
从表1可以得出，对于整数小波变换，可以设置电流比的阈值α1＝2、电压比的阈值α2＝10。当小波变换的励磁电流比值大于α1时，判定为两点接地，小于α1时，判定为一点接地；当小波变换的励磁电压比值大于α2时，判定为两点接地，小于α2时，判定为一点接地。同样，可以用励磁电流电压的分数小波变换比值作为判据，阈值取为10。
类似以上小波变换分析，可以建立发电机转子其它故障及其定子故障的判别阈值.
表1可用于分析发电机转子接地故障,但更为精确而详细的发电机故障检测方法，需要综合考虑发电机定子绕组的单相接地、匝间短路、相间短路和转子绕组匝间短路及失磁等故障。此外，若要进行实时故障检测，则需要利用发电机故障前及故障后2个周期甚至1个周期故障信号的小波变换之比值，以确定阈值。还可以进一步研究出构成基于小波变换的微机保护快速算法等。
6 结论
本文提出的整数N进小波变换和分数小波变换方法，除了具有与二进制小波变换同样的检测故障信号的突变分量外，还具有提取故障信号的各次整数谐波或分数谐波分量的能力。对于故障信号某些特定的谐波分量，所需计算次数较少。对于某个特定的系统，当要对其输出信号的某整次或分数谐波分量进行分析或辨识时，整数N进小波变换或分数小波变换是一个有效的方法。
参考文献
〔1〕 崔锦泰著，程正兴译.小波分析导论[M].西安:西安交大出版社,1992.
〔2〕 Meyer Y.Wavelet algorithms and applications [M].SIAM,Philadelphia,1993.
〔3〕 Meyer Y,Coifman R.Ondelettes et operateurs[M].Hermann,Editeurs des Sciences et des Arts,1991.
〔4〕 杨桦,王渝红,任震.利用二进小波变换消除电动机故障信号白噪声[J].重庆大学学报,1997,20(4):81-86
〔5〕 任震,黄雯莹,石志强.小波分析及其在电力系统中的应用——第二部分:理论基础[J].电力系统自动化,1997,21(2):13-17
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