李颖晖，张保会
西安交通大学电气学院电力系，陕西省西安市710049
1 前言
由非线性系统稳定域边界理论可知，非线性系统的稳定边界是由稳定边界上的I型不稳定平衡点的稳定流形的并集组成［2］。对于一个受扰动后的电力系统亦是如此。因为系统在遭受大扰动后的稳定性取决于持续故障轨线导向的那一部分稳定边界，而主导不稳定平衡点是持续故障轨线导向的稳定边界上的不稳定平衡点，因此由文［1］可知，在该主导不稳定平衡点处，对系统作一线性映射X＝UY和一非线性映射Y＝Z＋h2 r（Z），则原系统的二阶近似系统被映射到一线性系统Z＝JrZ，即规范形系统。研究原系统的稳定边界的问题转化为研究线性系统的稳定子空间的问题。
由于电力系统的主导不稳定平衡点是I型的，所以其对应的线性系统的特征根只有一个为正，其稳定子空间张成一Z空间里的超平面zi＝0（i为正特征根的序号），则原系统在主导不稳定平衡点处的稳定边界为超平面zi＝0在X空间的原象，临界切除时间应由持续故障轨线在主导不稳定平衡点上的稳定流形的出口点确定。
2 映射的几何机理
2．1 映射的理论依据
由文［1］中推导的非线性映射的公式，当非线性系统对应的线性系统的特征根全为实数时，非线性变换矩阵为：
 （1）
当λj＋λk－λi＝0时，矩阵中有元素为无穷大，此时非线性映射不存在，X空间的二阶非线性系统不能映射到线性系统。这种情况称为谐振（Reso－nance）。
定理1 Poincare定理［3］：若非线性系统在某不动点处无零实部特征根并且无谐振现象，那么非线性系统在该不动点的邻域可以映射为其线性部分。
由Poincare定理可知，在电力系统的主导不稳定平衡点（双曲平衡点）处，若特征根无谐振，则系统可映射到其线性系统中。下面作一简单说明。
对一非线性系统 X＝f（X），X∈Rn，f：Rn→Rn，X0＝X（0）（2）
可写为 X＝AX＋X2（X）＋H．O．T．X∈Rn（3）
对X的某一分量
Xi=AiX+1/2XTHiX+H.O.T. X∈Rn (4)
作非线性映射
Xi=Zi+ZTh2riZ (5)
则
解得与文［1］中不同的非线性变换矩阵h2r，将非线性系统式（2）映射为其线性部分。
2．2 映射的几何意义
由2．1可知，式（2）在双曲平衡点处，若特征根无谐振时，可映射为其线性部分，即 Z＝AZ，因为矩阵A不为对角阵，与特征根对应的特征向量不都与Z坐标系统的坐标轴平行，那么线性系统 Z＝AZ的稳定子空间所张成的超平面不是Z坐标系统的坐标平面，而是与各坐标平面成一定角度，如图1所示。
图1 n＝3时 Z＝AZ系统的稳定子空间所张成的超平面
Fig．1 The superplane stretched by stablesubspace ofsystem Z＝AZwhen n＝3
当n＞3时这样的超平面无论在数学表达和直观性上，都不如zi＝0的坐标平面，因此线性变换Y＝UX实际上是坐标系的旋转，使得经非线性变换后，线性系统的稳定子空间为一坐标平面。
因此文［1］中映射的几何机理为：对式（2）在主导不稳定平衡点处作超切平面，如图2（a），对式（2）作坐标旋转Y＝UX，使得该超切平面与zi＝0的坐标平面平行，如图2（b），旋转后的坐标系统为Y，在主导不稳定平衡点的邻域，作非线性映射，将局部不变稳定流形的二阶部分零化，消除凹凸不平，使得局部不变稳定流形映射为zi＝0的超平面，如图3。
图3 n＝3时非线性映射的几何机理
3 主导不稳定平衡点（CUEP）的确定［2］
原系统首先要在主导不稳定平衡点处作二阶近似，然后在该点进行线性及非线性变换，因此Y空间和Z空间的坐标原点对应原系统的主导不稳定平衡点。本文通过求原系统的收缩系统的CUEP来确定原系统的CUEP。
积分持续故障轨线
得收缩系统的主导不稳定平衡点θu，原始系统的主导不稳定平衡点CUEP为（θu，0）。
4 出口点的确定
电力系统经大扰动后的临界切除时间应由持续故障轨线在主导不稳定平衡点处的局部不变稳定流形上的出口点确定。局部不变稳定流形是zi＝0的超平面在X坐标系统下的原象，是一超曲面，持续故障轨线何时与该超曲面相交的判断还存在相当大的困难，并且超曲面的解析表达也较难获得，因此可以将持续故障轨线映射到Z坐标系统中，得到新的持续故障轨线，与zi＝0相交时，对应临界切除时间。只要判断新的持续故障轨线的第i维分量何时过零或变号，即可得临界切除时间。因此，可推出以下确定暂态稳定的临界切除时间的定理：
定理2．将电力系统非线性微分方程组在主导不稳定平衡点处作文［1］所述的映射，将持续故障轨线映射到Z空间，判断Z空间中持续故障轨线的第i个分量是否过零，则可确定持续故障轨线是否到达临界切除时间。
5 算例
5．1 算例1
一简单电力系统如图4所示［4］。设双回输电线中的一回始端发生三相短路故障，试计算为保持暂态稳定而要求的极限切除时间。
图4 简单电力系统
故障后系统的微分方程为δ＝ω
（2）求非线性变换矩阵由文［1］式（16）可知
（3）将持续故障轨线映射到规范形系统，求临界故障切除时间 将持续故障轨线映射到Z空间，
将持续故障轨线上的X代入Y＝UX，解出Y，分别代入式（12）、（13），解得z2，直至Δz2过零，即可得临界故障切除时间。
由表1可知，三相短路接地故障的临界切除时间为0．133 6s。由逐步积分法计算，三相短路接地 故障的临界切除时间为0．1324s。误差是由稳定边界是二阶近似的稳定流形引起的。
表1 简单系统三相短路接地时计算结果
（4）稳定裕度的计算
稳定裕度直接由时间来度量，定义为
Δt＝tcr－tcl，tcl为切除时间，S；对于本例，Δt＝0．133 6－tcl。
5．2 算例2
本节以电科院6机22节点系统作为算例，计算在不同的地点发生三相短路故障时系统的临界切除时间。本文所用的方法是基于稳定流形变换的方法（简写为SCMT法），与PEBS法、BCU法及逐步积分法的结果列于表2，表3列出对应故障下的系统的主导不稳定平衡点（角度中心坐标下）：
表2 临界切除时间/s
其中故障支路中带＊号的为故障节点。
PEBS法和BCU法都是Lyapunov直接法，由于多机电力系统能量函数与积分路径有关，采取线性积分路径所构造的能量函数是不严格的，因而PEBS法计算的临界切除时间时而冒进，时而保守，具有不确定性，BCU法却总是保守的。逐步积分法得到正确的计算结果的代价是需要反复试凑切除时间，积分较长的时间看系统是否趋于稳定，花费了很多计算时间，不能满足电力系统实时控制的要求。
本文采用的SCMT法，运用非线性系统理论得到稳定域边界，只需积分一次即可求得系统的临界切除时间，在计算时间上与BCU法相当，而精度却高得多；与逐步积分法相比，计算结果相当，却无须多次试凑，计算时间能满足实时控制的要求。因此，SCMT法是不同于逐步积分法和Lyapunov直接法的第3种方法，综合了两者的优点，克服了两者的不足，是一种能满足实时控制速度的、精确度较好的新方法。
6 结论
本文对文［1］所提出的线性及非线性映射的几何意义作了解释；将持续故障轨线映射到Z空间，判断zi过零即可得临界切除时间，该方法适用于多机电力系统；算例表明了该方法可以较准确地求得临界切除时间。由于本方法是在二阶近似系统下进行的变换，它所带来的误差理论分析是我们要继续研究的课题。
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