1　引言

　　城市配电网自动化系统一般在馈线开关处安放FTU，并通过通信网络把数据传送到控制中心的后台计算机系统^［1］。
　　配电网的数学模型是配电自动化的基础。虽然电力系统建模技术已经很成熟^［2，3］，其模型化方法对于输电网是非常实用的，然而在用来描述配电网时却不十分方便，因为配电网的节点较输电网的节点要多得多，导致导纳矩阵非常庞大，占用的存储空间和处理工作量也非常大；配电网上量测点少，由于受到建设费用的限制，一般只有少数重要的配电变压器得到量测，因此，难以通过严格方法得出配电网的潮流^［4］。
　　本文提出一种简化的配电网模型化方法：仅将线路上的柱上开关看作是节点，而将配电线路和配电变压器综合看作是一种耗散元件。在这样的简化模型基础上，可以发展配电网故障区域判断、健全区域优化恢复供电、配电网负荷均衡化等算法。

2　配电网的数据结构

2．1　配电网的简化模型
　　将配电网络看作是一种赋权图，将线路上的柱上开关看作是节点（Node），节点的权为流过该节点的负荷。将相邻两个节点间的配电馈线和配电变压器综合看作是图的边（edge），边的权即为该条边上所有配电变压器供出的负荷之和。这样处理之后即达到了简化节点数的目的，简化模型如图1所示。
　　对图1所示的配电线路，图1（a）中所示的模型共有19个节点、33个元件（14个配电变压器和19条馈线段），而采用图1（b）中所示的简化模型则一共只有6个节点和5个耗散元件，但是在简化模型中，必须将分支线路的末梢表示为处于分状态的节点。

　　配电网的描述可以采用邻接矩阵或邻接表的形式，由于邻接矩阵的概念表述较清楚，本文的叙述均采用这种形式。
2．2　配电网的无向图描述模型
　　将配电网的馈线当作无向边，并采用N行N列的D矩阵加以描述，D矩阵称作网基结构矩阵，其中N为配电网中节点的个数，即

　　若节点i和j之间存在一条边，则d_ij＝d_ji＝1，其余元素为0。
　　网基结构矩阵D描述了配电网的潜在联接方式，它取决于配电线路的架设，这种具有潜在联接方式的配电网构成图被称作“网基”；具有潜在连通关系的一个子系统被称为配网的连通系。
2．3　配电网的节点描述矩阵
　　（1）建立1行N列的源点分布矩阵M，即M＝［m₁，m₂，…，m_N］若节点i为电源点，则m_i＝1，否则m_i＝0；
　　（2）建立1行N列的T接分支点分布矩阵B，即B＝［b₁，b₂，…，b_N］
    若节点i为T接点，则b_i＝1，否则b_i＝0；
　　（3）建立1行N列的节点状态矩阵T，即T＝［t₁，t₂，…，t_N］
    若节点处于合闸状态，则t_i＝1；否则t_i＝0。
　　一般均认为T接点处于合闸状态，末梢点处于分闸状态。
2．4　配电网的有向图描述模型
　　将配电网的馈线当作有向边（也可称为“弧”），其方向就是线路上潮流的方向，并采用N行N列的C矩阵加以描述，C矩阵称作弧结构矩阵，其中N为配电网中节点个数，即

　　若节点i和j之间存在一条由i指向j的边，则d_ij＝1，d_ji＝0，弧结构矩阵C阵中的空闲元素为0。
　　弧结构矩阵C描述了配电网的当前实际运行方式，称这样的图为“网形”。
　　显然，对于开环配电网络，入度为1的汇点为网络的末稍点，入度大于1（一般等于2）的节点为网络的联络开关，联络开关一般处于“分”状态。将上述关系反映在网络的弧结构矩阵中，即

2,则v_m是网络的联络点。

2．5　配电网的负荷矩阵
    （1）建立N行N列的配电网负荷分布矩阵。
　　在简化模型中，配电网的负荷矩阵填写的是配电网中节点的权和边的权。节点v_i的权为流过该节点的负荷，边（v_i，v_j）的权为该馈线供出的负荷。为简化起见，忽略三相不平衡因素和馈线沿线的损耗，负荷可以采用电流的形式来反映，即

    （2）建立N行N列的配电网额定负荷分布矩阵R

　　额定负荷矩阵R的对角线元素为各节点的额定负荷；额定负荷矩阵R的其他元素为该元素所对应的弧所能供出的额定负荷；额定负荷矩阵R中没有对应弧的位置的元素为0．01，这样作是为了在计算时不至于使分母为0。
　　（3）建立N行N列的配电网归一化额定负荷矩阵L_n，即

　　称配电网的归一化负荷矩阵L_n中归一化负荷最大的源点为网络的最热源点；称网络的源点中归一化负荷不为0且最小的源点为网络的最冷源点；称归一化负荷大于L_n—set的弧为过热弧，其中L_n—set为负荷极限值。

3　配电网的数学变换

3．1　基形变换

　　由网基结构矩阵D、源点分布矩阵M、T接点分布矩阵B和节点状态矩阵T求得弧结构矩阵C的
过程，被称为基形变换。对于一个给定的N点开环配电网络，实际上其网基结构矩阵D和源点分布矩阵M是确定的，而其节点状态矩阵T是变化的，每一种T矩阵形式对应一种网形，亦即对应一个弧结构矩阵C。因此可以认为弧结构矩阵C是网基结构矩阵D和源点分布矩阵M在节点状态矩阵T作用下的投影，用T_r［］表示，即

C＝T_r［D，B，T］（6）

　　基形变换的含义实际上是根据配网的潜在联接方式和各开关的当前状态求得配网的当前运行方式的过程。
　　为了进行基形变换，需要采用如下步骤定义起点队列QS：
　　第①步根据源点分布矩阵M将网络中源点的序号填入起点队列QS中；
　　第②步从起点队列QS之首取出一个顶点作为当前起点，并判断该顶点是否处于合状态，若是，则进行下一步，否则，进行第④步；
　　第③步：查阅网基结构矩阵D，搜寻是否存在以当前起点为端点的边，若存在这样的边，则考察弧结构矩阵C，看该边的方向是否已明确，若尚未明确，则网形中一定存在从当前起点发出的弧，将这些弧填入弧结构矩阵中，将它们的终点中处于合状态顶点的序号填入起点队列中；
　　第④步：起点队列QS是否空？若是，则退出，否则回到第②步。
　　通过基形变换，可以达到动态跟踪配电网的拓扑结构目的。
3．2　点弧变换
　　已知配电网中各节点的负荷，根据弧结构矩阵C，可计算出各条弧的负荷，此过程称为点弧变换。
　　如果v_m为一组弧的起点，v_i，v_j，…，v_k分别为这组弧的终点，则称v_m为v_i，v_j，…，v_k的父节点，称v_i，v_j，…，v_k为v_m的子节点。对于一个配电网络，应满足如下性质：父节点的负荷等于它所有子节点的负荷之和加上所有同父弧的负荷之和，即

式中α（v）＝（v_i，v_j，…，v_k），是v_m的所有子节点的集合。
　　根据节点负荷求弧负荷算法的关键在于处理T接点，因为一般并不能获得T接点的负荷，为此定义区域的概念。区域是指相互连通的若干弧构成的子图，在一个区域中仅存在一条流入该区域的弧，并称这条弧的起点为该区域的始点，流出区域的弧的终点为该区域的末点；始点和末点统称为该区域的端点，区域内的其余端点称为该区域的内点。区域用P（v_i，v_j，…，v_m）表示，其中v_i，v_j，…，v_m为该区域的端点，并且v_i（排在最前面的节点）为该区域的始点，v_j，…，v_m为该区域的末点。
    对于一个区域P（v_i，v_j，…，v_k），区域的负荷与其端点的负荷关系为

　　区域的负荷与区域内弧的负荷关系为

式中　α为区域P的末点的集合；β为区域P内弧的集合。
　　如果区域P的所有内点的负荷均未知，则可将该区域的负荷平均分配到区域内的各条弧上，即

式中　n为区域P内弧的条数。
    式（7）～（10）就是点弧变换的依据。
　　在分支线路的首级分段开关离T接点很近的情形下，往往该分支对应的弧的负荷为0，在点弧变换中，区域内的负荷将只在区域内其它各条弧上分配。此外还可根据区域内各条馈线上的用电量数据，确定各条边上的负荷比例，从而恰当地分配负荷。
　　点弧变换的含义实际是根据各开关流过的负荷求出各个馈线供出的负荷。值得注意的是：对于未安装数据采集装置或装置故障的节点，也可当作T接点对待，从而不妨碍整个配电网的计算。
3．3　弧点变换
　　已知耗散网络中各条弧的负荷，根据弧结构矩阵，可计算出各节点的负荷，此过程即弧点变换，即

　　弧点变换的含义是根据各条馈线供出的负荷求出各开关流过的负荷。
3．4　配电网简化模型的参数提取
　　（1）网基结构矩阵D、源点分布矩阵M和T接点分布矩阵B根据配电网的线路建设结构构成，事先定义在数据库中，并可根据配网的发展而修改、删除和补充；
　　（2）节点状态矩阵T中的元素取值来源于各开关的数据采集装置的上报信息。比如配电网的电源点位置由安放在主变电站的RTU的上报信息而得；配电线路柱上开关的位置由安放在柱上开关下面的FTU的上报信息而得；箱式配电变电站的低压出线开关位置由安放在箱式变内的TTU的上报信息而得；
　　（3）负荷矩阵L中的对角线元素取值来源于各开关的FTU、RTU和TTU上报的流过相应开关的
负荷电流信息；L中的其他元素，是根据C和L中的对角线元素经过点弧变换得出；
　　（4）额定负荷矩阵R中的元素取值是根据电气设备和线路的极限参数，事先定义于数据库中，并可根据配网的发展而修改；
　　（5）归一化负荷矩阵L_n中的元素是根据L和R计算而来。

4　配电网简化模型的应用

4．1配电网故障区域的判断与隔离

　　配电网络故障区段的判断与隔离问题实际上是根据计算出的各条弧的负荷和额定负荷矩阵计算出归一化负荷矩阵，并从中搜寻出过热弧就是故障区段，将所有过热弧的起点和终点均断开，就可以达到隔离故障区段的目的。
    对图2所示的网络，其各节点的负荷如图中所示。

　　假设图2所示的配电网络节点的额定负荷为100．0，弧（v₁，v₅）的额定负荷为20．0，其余各弧的额定负荷均为10．0，根据点弧变换，可计算出图2所示的配电网络的负荷矩阵L和归一化负荷矩阵L_n分别为

　　可见弧（v₄，v₂）、（v₂，v₃）和（v₂，v₆）为过热弧，因此故障区段为节点v₄，v₂，v₃和v₆确定的区域。
4．2　健全区域恢复供电的最佳方案
　　对于如图3（a）所示的配电网络，如果在节点v₈和v₁之间的区段发生了故障，通过过热弧搜寻的基本算法或简化算法，可以判断出节点v₈和v₁为故障区域的端点，将它们分别分断掉，就可以隔离故障区段。此时要恢复由节点v₁、v₁₀、v₄和v₆确定的区域供电，可以采取2种方式：①合上节点v₄，由源点v₇供电；②合上节点v₆，由源点v₉供电。究竟哪一种方式更好些呢？显然在各种恢复方案中，故障所在连通系的负荷平衡率最低的方案是最优的（负荷平衡率BLC为连通系中最热源点的负荷与最冷源点的负荷之比^［5］），其求解过程如下。
　　假设C₁为故障前的弧结构矩阵，C₂为隔离了故障区段后的弧结

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