式中x—沿作用线上齿轮的相对位移；
               c —齿轮啮合阻尼；
              k（t）—齿轮啮合刚度；
                  T₁，T₂—作用于齿轮上的扭矩；
                         r₂—齿轮的节圆半径；
                   i—齿轮副的传动比；
          e（t）—由于轮齿变形和误差及故障而造成的个齿轮在作用线方向上的相对位移；
                      m_r  —换算质量。

图1 齿轮副力学模型

             m_r=m₁m₂/(m₁+m₂)                       （1-2）
       若忽略齿面摩擦力的影响，则(T₂-iT₁)/r₂=0，将e（t）分解为两部分：
      e(t)=e₁+e₂(t)                               （1-3）
    e₁为齿轮受载后的平均静弹性变形；e₂(t) 为由于齿轮误差和故障造成的两个齿轮间的相对位移，故也可称为故障函数。这样式(1-1)可简化为

                                 （1-4）
        由式(1-4)可知，齿轮的振动为自激振动。该公式的左侧代表齿轮副本身的振动特征，右侧为激振函数。由激振函数可以看出，齿轮的振动来源于两部分：一部分为k（t）e₁，它与齿轮的误差和故障无关，所以称为常规振动；另一部分为k（t)e₂(t) ,它取决于齿轮的综合刚度和故障函数，这一部分可以较好地解释齿轮信号中边频的存在以及与故障的关系。
        式(1-4)中的齿轮啮合刚度k(t)为周期性的变量，由此可见齿轮的振动主要是由k（t）的这种周期变化引起的。
        k(t)的变化可用两点来说明：一是随着啮合点位置的变化，参加啮合的单一轮齿的刚度发生了变化，二是参加啮合的齿数在变化。例如对于重合系数在1-2之间的渐开线直齿轮，在节点附近是单齿啮合，在节线两侧某部位开始至齿顶、齿根区段为双齿啮合（图2）。显然，在双齿啮合时，整个齿轮的载荷由两个齿分担，故此时齿轮的啮合刚度就较大；同理，单齿啮合时啮合刚度较小。

                    图2 齿面受载变化                      图3   啮合刚度变化曲线

        从一个轮齿开始进入啮合到下一个轮齿进入啮合，齿轮的啮合刚度就变化一次。由此可计算出齿轮的啮合周期和啮合频率。总的来说，齿轮的啮合刚度变化规律取决于齿轮的重合系数和齿轮的类型。直齿轮的刚度变化较为陡峭，而斜齿轮或人字齿轮刚度变化较为平缓，较接近正弦波（图3)。
        若齿轮副主动轮转速为n₁、齿数为Z₁；从动轮转速为n₂、齿数为Z₂，则齿轮啮合刚度的变化频率（即啮合频率）为

                   （1-5）
        无论齿轮处于正常或异常状态下，这一振动成分总是存在的。但两种状态下振动水平是有差异的。因此，根据齿轮振动信号啮合频率分量进行故障诊断是可行的。但由于齿轮信号比较复杂，故障对振动信号的影响也是多方面的，特别是由于幅值调制和频率调制的作用，齿轮振动频谱上通常总是存在众多的边频带结构，给利用振动信号进行故障诊断带来一定的困难。
        二、幅值调制与频率调制
        齿轮振动信号的调制现象中包含有很多故障信息，所以研究信号调制对齿轮故障诊断是非常重要的。从频域上看，信号调制的结果是使齿轮啮合频率周围出现边频带成分。信号调制可分为两种：幅值调制和频率调制。
        1．幅值调制
        幅值调制是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响而造成的。比较典型的例子是齿轮的偏心使齿轮啮合时一边紧一边松，从而产生载荷波动，使振幅按此规律周期性地变化。齿轮的加工误差（例如节距不匀）及齿轮故障使齿轮在啮合中产生短暂的“加载”和“卸载”效应，也会产生幅值调制。
        幅值调制从数学上看，相当于两个信号在时域上相乘；而在频域上，相当于两个信号的卷积，如图4所示。这两个信号一个称为载波，其频率相对来说较高；另一个称为调制波，其频率相对于载波频率来说较低。在齿轮信号中，啮合频率成分通常是载波成分，齿轮轴旋转频率成分通常是调制波成分。

图4 单一频率的幅值调制

        若x_c(t)=Asin(2πf_ct+φ)为齿轮啮合振动信号，a(t)=1+Bcos2πf_Zt为齿轮轴的转频振动信号，则调幅后的振动信号为
       x(t)=A(1+Bcos2πf_Xt)sin(2πf_ct+φ)          （1-6）
        式中A—为振幅；
       B—幅值调制指数；
        fz—调制频率，它等于齿轮的旋转频率。
        上述调制信号在频域可表示为
      |x(f)׀=Aδ(f-f_c)+1/2ABδ(f-f_c-f_Z)+1/2AB(f-f_c+f_Z)      （1-7）
        由此可见，调制后的信号中，除原来的啮合频率分量外，增加了一对分量（f_c＋f_z）和(f_c一f_z）它们是以fC为中心，以fz为间距对称分布于两侧，所以称为边频带（图1-7).
        对于实际的齿轮振动信号，载波信号、调制信号都不是单一频率的，一般来说都是周期函数。由式（1-4)可知，一般情况下，k(t)e₂(t)可以反映由故障而产生的幅值调制。
        设y(t)=k(t)e₂(t)                      （1-8）
        则k (t)为载波信号，它包含有齿轮啮合频率及其倍频成分，e₂(t )为调幅信号，反映齿轮的误差和故障情况。由于齿轮周而复始地运转，所以齿轮每转一圈，e₂(t )就变化一次，e₂(t )包含齿轮轴旋转频率及其倍频成分。
        在时域上，y(t)=k(t)e₂(t)                            （1-9）
       在频域上，S_y(f)=S_K(f)*S_e(f)                     （1-10）
        式中,,S_y（f）,S_k(f)和S_e(f）分别为y(t),k（t）和e₂(t )的频谱。由于在时域上载波信号k(t)和调幅信号e₂（t)为相乘，在频域上调制的效果相当于它们的幅值频谱的卷积。即近似于一组频率间隔较大的脉冲函数和一组频率间隔较小的脉冲函数的卷积，从而在频谱上形成若干组围绕啮合频率及其倍频成分两侧的边频族（图5）。
        由此可以较好地解释齿轮集中缺陷和分布缺陷产生的边频的区别。图6(a)为齿轮存在局部缺陷时的振动波形及频谱。这时相当于齿轮的振动受到一个短脉冲的调制，脉冲长度等于齿轮的旋转周期。由此形成的边频带数量多且均匀。
        图6(b）为齿轮存在分布缺陷的情形。由于分布缺陷所产生的幅值调制较为平缓，由此形成的边频带比较高而且窄。并且，齿轮上的缺陷分布越均匀，频谱上的边频带就越高、越集中。

图5  齿轮频谱上边频带的形成

图6  齿轮缺陷分布对边频带的影响

        2．频率调制
        齿轮载荷不均匀、齿距不均匀及故障造成的载荷波动，除了对振动幅值产生影响外，同时也必然产生扭矩波动，使齿轮转速产生波动。这种波动表现在振动上即为频率调制（也可以认为是相位调制）。对于齿轮传动，任何导致产生幅值调制的因素也同时会导致频率调制。两种调制总是同时存在的。对于质量较小的齿轮副，频率调制现象尤为突出。
        频率调制即使在载波信号和调制信号均为单一频率成分的情况下，也会形成很多边频成分。若载波信号为Asin(2πf_ct+φ)调制信号为βsin(2πf_Zt)则频率调制后的信号为
           f(t)=Asin［2πf_ct+βsin(2πf_Zt)+φ］                    （1-11）
        式中     A—振幅；
                   f_c—载波振率；
                   f_z—调制频率；
                   β—调制指数，等于由调制产生的最大相位移；
                   φ—初相角。
       上式可以用贝塞尔（Besser）函数展开，得到调频信号的特性：调频的振动信号包含有无限多个频率分量，并以啮合频率  f_c为中心，以调制频率 f_z为间隔形成无限多对的调制边带（图7）。

图7  频率调制及其边带

        相位调制具有和频率调制相同的效果。事实上，所有的相位调制也可以看作频率调制，反之亦然。
        对于齿轮振动信号而言，频率调制的原因主要是由于齿轮啮合刚度函数由于齿轮加工误差和故障的影响而产生了相位变化，这种相位变化会由于齿轮的旋转而具有周期性。因此在齿轮信号频率调制中，载波函数和调制函数均为一般周期函数，均包含基频及其各阶倍频成分。调制结果是在各阶啮合频率两侧形成一系列边频带。边频的间隔为齿轮轴的旋转频率fz，边频族的形状主要取决于调制指数β。
        3．齿轮振动信号调制特点
        齿轮振动信号的频率调制和幅值

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