例1 某工厂甲、乙两种产品,每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元;每件乙产品要耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元。现钢厂有钢材600kg,煤400kg,试确定甲、乙两种产品各生产多少件,才能使该厂的总产值最大? 解 设甲、乙两种产品的产量分别为X1、X2,则总产值是X1 、X2的函数 f(X1,X2)=120X1+100X2 资源的多少是约束条件: 由于钢的限制,应满足2X1+3X2≤600;由于煤的限制,应满足2X1+X2≤400。 综合上述表达式,得数学模型为 求最大值(目标函数):f(X1,X2)=120X1+100X2 2X1+3X2≤600 2X1+X2≤400 X1≥0,X2≥0 Xl,X2为决策变量,解得Xl≤150件,X2≤100件 fmax=(120 ×150+100×100)元=28000元 故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时,产值最大,为28000元。
例2 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同设备上加工。按工艺规定,产品甲和乙在各设备上所需加工台数列表于表1-1中。已知设备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12(一台设备工作lh称为一台时),该工厂每生产一件甲产品可得利润20元,每生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计划,才能得到最多利润? 解 l) 建立数学模型 设 X1 、X2分别表示甲、乙产品的产量,则利润是f(X1,X2)=20 X1+30 X2,求最大值。 设备的有效利用台时为约束条件: A:2 X1+2 X2≤12 B:X1+2 X2≤8 C:4 X1≤16 D:4 X2≤12 X1≥0,X2≥0 2)求解未知数 X1≤4、X2≤3,但由式(l)、式(2)得X1≤4、X2≤2,所以取X1≤4、X2≤2 故 fmax=(20×4+30×2)元=140元 3)结论:在计划期内,安排生产甲产品4件、乙产品2件,可得到最多的利润(140元)。 例3 某工厂为维修全厂某类设备制造备件,需由一批5.5m长的相同直径的圆钢截取3.1m、2.1m、1.2m的胚料。每台设备所需的件数如表1-2所示。用5.5m长的圆钢截取上述三种规格的零件时,有下列五种截取方法可供选择,如表1—2所示。问当设备总数为100台时,采取何种方案可使5.5m的圆钢用料最省? [NextPage] 表1-2 每台设备所需的件数
表1-3 五种截取方法
假设:按第一方案截取的5.5m长的圆钢数为X1 按第二方案截取的5.5m长的圆钢数为X2 按第三方案截取的5.5m长的圆钢数为X3 按第四方案截取的5.5m长的圆钢数为X4 按第五方案截取的5.5m长的圆钢数为X5 据此表1-4:
表 1-4
因为设备总台数为100台,所以按各方案截取的零件数必须满足下列约束条件: X1+ X2=100 X2+2 X3+ X4=200 2 X2+ X3+2 X4+4 X5=400 X1 ,X2 ,X3, X4, X5≥0 目标函数为 fmin=X1+X2+X3+X4+X5 通过计算机运算得最优解为 X1=0、 X2=100、X3=100、X4=0、X5=25,故最优值 (最省方案)为fmin= 225根
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